Ответ:

1. Бросив небрежный взгляд на часы, Петя не спеша вышел из дома. «Небрежный» — слово без НЕ не употребляется.

2. Кольцо оказалось не дешёвым, а дорогим украшением: есть противопоставление с союзом «а».

3. Задачи в контрольной по математике были нисколько не сложными. Отрицательное местоименное наречие «нисколько» требует раздельного написания НЕ.

4. Игорь оказался человеком несерьёзным и крайне болтливым. Можно заменить близким по смыслу словом «легкомысленным»; противопоставления нет.

5. Не переживай, я нисколько не обижена на тебя. С отрицательным местоименным наречием НЕ пишется раздельно.

6. Ещё маленький и неуклюжий медвежонок следовал за медведицей. Слово без НЕ не употребляется.

7. Речка у нас не глубокая, а мелкая, поэтому дети часто в ней плавают. Есть противопоставление.

8. Из колонок звучала негромкая музыка. НЕ с прилагательным пишется слитно, поскольку слово можно заменить синонимом «тихая».

9. Предложение на изображении не видно, поэтому определить написание НЕ невозможно.

10. Эта невзрачная на вид девушка пела лучше всех в театре. Слово без НЕ не употребляется.