Упражнение 18 из 18. 17. На уроке ментальной арифметики учительница записала некоторое число на доске. Ученик Вова вычел из этого числа сумму его цифр и тоже записал результат на доске. У нового числа Ира стёрла одну цифру. В итоге на доске осталось число 528. Какую цифру стёрла Ира, если известно, что исходное число было четырёхзначным?

Решение: Пусть исходное число равно $$\overline{abcd}$$, где $$a, b, c, d$$ - цифры числа. Тогда исходное число можно записать как $$1000a + 100b + 10c + d$$. Вова вычел из этого числа сумму его цифр, то есть получил $$1000a + 100b + 10c + d - (a + b + c + d) = 999a + 99b + 9c = 9(111a + 11b + c)$$. Таким образом, полученное число делится на 9. Ира стерла одну цифру, и осталось число 528. Это значит, что полученное после вычитания число имело вид $$\overline{x528}$$, $$\overline{5x28}$$, $$\overline{52x8}$$ или $$\overline{528x}$$, где x - стертая цифра. Так как полученное число делится на 9, то сумма его цифр тоже должна делиться на 9. 1) Если число $$\overline{x528}$$, то $$x + 5 + 2 + 8 = x + 15$$ должно делиться на 9. Следовательно, $$x = 3$$, и число равно 3528. 2) Если число $$\overline{5x28}$$, то $$5 + x + 2 + 8 = x + 15$$ должно делиться на 9. Следовательно, $$x = 3$$, и число равно 5328. 3) Если число $$\overline{52x8}$$, то $$5 + 2 + x + 8 = x + 15$$ должно делиться на 9. Следовательно, $$x = 3$$, и число равно 5238. 4) Если число $$\overline{528x}$$, то $$5 + 2 + 8 + x = x + 15$$ должно делиться на 9. Следовательно, $$x = 3$$, и число равно 5283. Проверим каждый случай: 1) 3528 делится на 9, так как $$3528 = 9 * 392$$. Тогда $$111a + 11b + c = 392$$. Но $$a,b,c$$ - цифры, то есть $$a \le 9, b \le 9, c \le 9$$, и $$111a + 11b + c \le 111 * 9 + 11*9 + 9 = 999 + 99 + 9 = 1107$$. Искомое число $$\overline{abcd}$$ такое, что $$1000a + 100b + 10c + d - (a + b + c + d) = 3528$$, откуда $$999a + 99b + 9c = 3528$$, или $$111a + 11b + c = 392$$. 2) 5328 делится на 9, так как $$5328 = 9 * 592$$. Тогда $$111a + 11b + c = 592$$. Искомое число $$\overline{abcd}$$ такое, что $$1000a + 100b + 10c + d - (a + b + c + d) = 5328$$, откуда $$999a + 99b + 9c = 5328$$, или $$111a + 11b + c = 592$$. 3) 5238 делится на 9, так как $$5238 = 9 * 582$$. Тогда $$111a + 11b + c = 582$$. Искомое число $$\overline{abcd}$$ такое, что $$1000a + 100b + 10c + d - (a + b + c + d) = 5238$$, откуда $$999a + 99b + 9c = 5238$$, или $$111a + 11b + c = 582$$. 4) 5283 делится на 9, так как $$5283 = 9 * 587$$. Тогда $$111a + 11b + c = 587$$. Искомое число $$\overline{abcd}$$ такое, что $$1000a + 100b + 10c + d - (a + b + c + d) = 5283$$, откуда $$999a + 99b + 9c = 5283$$, или $$111a + 11b + c = 587$$. Пусть исходное число 5931, тогда сумма цифр $$5 + 9 + 3 + 1 = 18$$, $$5931 - 18 = 5913$$. Если стерли 9, получилось 513. Попробуем число 5931. $$5931 - (5 + 9 + 3 + 1) = 5931 - 18 = 5913$$. Если стереть цифру 9, то получится 513. Но в условии 528. Допустим исходное число 6000. $$6000 - 6 = 5994$$. Это не подходит. Если исходное число 5832, то $$5832 - (5+8+3+2) = 5832 - 18 = 5814$$. Не подходит. Если Ира стёрла 1, тогда осталось 584. А должно остаться 528. Пусть число 6129. $$6129 - (6 + 1 + 2 + 9) = 6129 - 18 = 6111$$. Подходит только цифра 3. Ответ: 3