Упражнение 17 из 18. Найди значение выражения \(\sqrt{98 + 18\sqrt{17}} - \sqrt{17}\).

Здравствуйте, ребята! Давайте решим данное выражение. **Шаг 1: Упростим корень \(\sqrt{98 + 18\sqrt{17}}\)** Мы можем попытаться представить подкоренное выражение в виде квадрата суммы. Предположим, что: \[98 + 18\sqrt{17} = (a + b\sqrt{17})^2\] Развернем квадрат: \[(a + b\sqrt{17})^2 = a^2 + 2ab\sqrt{17} + 17b^2\] Теперь приравняем коэффициенты: \[a^2 + 17b^2 = 98\] \[2ab = 18\] Из второго уравнения получим: \[ab = 9\] Выразим \(a\) через \(b\): \[a = \frac{9}{b}\] Подставим в первое уравнение: \[\left(\frac{9}{b}\right)^2 + 17b^2 = 98\] \[\frac{81}{b^2} + 17b^2 = 98\] Умножим все на \(b^2\): \[81 + 17b^4 = 98b^2\] Перенесем все в одну сторону: \[17b^4 - 98b^2 + 81 = 0\] Пусть \(x = b^2\), тогда: \[17x^2 - 98x + 81 = 0\] Решим квадратное уравнение. Дискриминант \(D = b^2 - 4ac\): \[D = (-98)^2 - 4 \cdot 17 \cdot 81 = 9604 - 5508 = 4096\] \[\sqrt{D} = \sqrt{4096} = 64\] Найдем корни: \[x_1 = \frac{-(-98) + 64}{2 \cdot 17} = \frac{98 + 64}{34} = \frac{162}{34} = \frac{81}{17}\] \[x_2 = \frac{-(-98) - 64}{2 \cdot 17} = \frac{98 - 64}{34} = \frac{34}{34} = 1\] Тогда: \[b^2 = 1 \Rightarrow b = 1\] \[a = \frac{9}{1} = 9\] Таким образом, \(\sqrt{98 + 18\sqrt{17}} = 9 + \sqrt{17}\). **Шаг 2: Подставим в исходное выражение** Теперь подставим полученное выражение в исходное: \[\sqrt{98 + 18\sqrt{17}} - \sqrt{17} = (9 + \sqrt{17}) - \sqrt{17}\] \[= 9 + \sqrt{17} - \sqrt{17} = 9\] **Ответ:** 9