Упражнение 141 из 170. В выпуклом четырёхугольнике MNKP углы MNK и MPK равны соответственно 87° и 74°. Найди угол KNP, если MN = MK = MP.

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о свойствах равнобедренных треугольников и сумме углов в четырехугольнике. 1. **Анализ условия:** - Четырехугольник MNKP - выпуклый. - \(\angle MNK = 87^\circ\) - \(\angle MPK = 74^\circ\) - MN = MK = MP 2. **Рассмотрим треугольник MNK:** - Так как MN = MK, то треугольник MNK - равнобедренный с основанием NK. - Следовательно, углы при основании равны: \(\angle MNK = \angle MKN = 87^\circ\) - Найдем угол NMK: \(\angle NMK = 180^\circ - (\angle MNK + \angle MKN) = 180^\circ - (87^\circ + 87^\circ) = 180^\circ - 174^\circ = 6^\circ\) 3. **Рассмотрим треугольник MPK:** - Так как MK = MP, то треугольник MPK - равнобедренный с основанием KP. - Следовательно, углы при основании равны: \(\angle MPK = \angle MKP = 74^\circ\) - Найдем угол KMP: \(\angle KMP = 180^\circ - (\angle MPK + \angle MKP) = 180^\circ - (74^\circ + 74^\circ) = 180^\circ - 148^\circ = 32^\circ\) 4. **Найдем угол NMP:** - \(\angle NMP = \angle NMK + \angle KMP = 6^\circ + 32^\circ = 38^\circ\) 5. **Найдем угол NKP:** - Полный угол вокруг точки M равен 360 градусов, и в четырехугольнике сумма углов равна 360 градусов: \(\angle NKM + \angle MKP = \angle NKP\) \(\angle NKP = 87^\circ + 74^\circ = 161^\circ\) 6. **Найдем угол KNP:** - Сумма углов в четырехугольнике MNKP равна 360°: \(\angle MNK + \angle NKP + \angle KPM + \angle PMN = 360^\circ\) \(87^\circ + 161^\circ + 74^\circ + \angle KNP = 360^\circ\) \(322^\circ + \angle KNP = 360^\circ\) \(\angle KNP = 360^\circ - 322^\circ = 38^\circ\) **Ответ: 38°**