Ответ:

  1. Предоставить отпуск ввиду болезни и предоставить отпуск вследствие болезни — оба сочетания нормативны: «ввиду» и «вследствие» здесь имеют значение причины.
  2. Надеть на встречу смокинг — надевают одежду на себя; одевают кого-либо.
  3. Освоить новую тему — значит изучить и понять её; «усвоить» обычно говорят о знаниях или материале.
  4. Предоставить должность — значит дать её кому-либо. «Представить» означает, например, познакомить с кем-либо или предъявить.