Ответ:
1) Ветеринарный врач Иван Иваныч и учитель гимназии Буркин уже угомились идти, и поле представлялось им бесконечным. Запятая разделяет части сложного предложения.
2) Были забыты и речь Сысоева, и его несносный характер, и злое нехорошее выражение лица. При повторяющемся союзе «и» однородные члены разделяются запятыми — здесь нужны две.
3) Он вдруг подошел к Алехину и стал пожимать ему то одну руку, то другую. Запятая ставится между однородными членами при повторяющемся союзе «то… то».
4) Человек должен стремиться к высшей цели, а семейная жизнь связала бы меня навеки. Запятая разделяет части сложного предложения перед противительным союзом «а».
5) Аня играла на рояле или плакала от скуки, или ложилась на кушетку и читала романы. Запятая ставится между однородными сказуемыми при повторяющемся союзе «или»; сказуемые «ложилась и читала» соединены одиночным союзом «и».
Ответ: 1, 3, 4, 5.
