1. Упростить $$\frac{2^{4} \cdot 16}{8^{3}}$$. 2. Вычислить $$(\frac{8^{3} \cdot 25}{125})^{2}$$. 3. Решить уравнение $$2^{x+3} = 32$$. 4. Упростить $$\frac{7^{3} \cdot 49}{343}$$. 5. Вычислить $$(\frac{2^{4} \cdot 8}{16})^{3}$$. 6. Решить уравнение $$3^{2x-1} = 81$$.

Решим каждое задание по порядку:

1. 1. Упростить $$\frac{2^{4} \cdot 16}{8^{3}}$$.

   Представим все числа как степени двойки:

   $$\frac{2^{4} \cdot 16}{8^{3}} = \frac{2^{4} \cdot 2^{4}}{(2^{3})^{3}} = \frac{2^{4+4}}{2^{9}} = \frac{2^{8}}{2^{9}} = 2^{8-9} = 2^{-1} = \frac{1}{2} = 0.5$$

   Ответ: 0.5

2. 2. Вычислить $$(\frac{8^{3} \cdot 25}{125})^{2}$$.

   Представим числа как степени простых чисел:

   $$\left(\frac{8^{3} \cdot 25}{125}\right)^{2} = \left(\frac{(2^{3})^{3} \cdot 5^{2}}{5^{3}}\right)^{2} = \left(\frac{2^{9} \cdot 5^{2}}{5^{3}}\right)^{2} = \left(2^{9} \cdot 5^{2-3}\right)^{2} = \left(2^{9} \cdot 5^{-1}\right)^{2} = \left(\frac{2^{9}}{5}\right)^{2} = \frac{2^{18}}{5^{2}} = \frac{2^{18}}{25} = \frac{262144}{25} = 10485.76$$

   Ответ: 10485.76

3. 3. Решить уравнение $$2^{x+3} = 32$$.

   Представим 32 как степень двойки:

   $$2^{x+3} = 2^{5}$$

   Так как основания равны, приравняем показатели:

   $$x+3 = 5$$

   $$x = 5 - 3$$

   $$x = 2$$

   Ответ: 2

4. 4. Упростить $$\frac{7^{3} \cdot 49}{343}$$.

   Представим числа как степени семерки:

   $$\frac{7^{3} \cdot 49}{343} = \frac{7^{3} \cdot 7^{2}}{7^{3}} = 7^{3+2-3} = 7^{2} = 49$$

   Ответ: 49

5. 5. Вычислить $$(\frac{2^{4} \cdot 8}{16})^{3}$$.

   Представим числа как степени двойки:

   $$\left(\frac{2^{4} \cdot 8}{16}\right)^{3} = \left(\frac{2^{4} \cdot 2^{3}}{2^{4}}\right)^{3} = \left(\frac{2^{7}}{2^{4}}\right)^{3} = (2^{7-4})^{3} = (2^{3})^{3} = 2^{9} = 512$$

   Ответ: 512

6. 6. Решить уравнение $$3^{2x-1} = 81$$.

   Представим 81 как степень тройки:

   $$3^{2x-1} = 3^{4}$$

   Так как основания равны, приравняем показатели:

   $$2x - 1 = 4$$

   $$2x = 4 + 1$$

   $$2x = 5$$

   $$x = \frac{5}{2} = 2.5$$

   Ответ: 2.5