Упрощение выражения

Для начала разложим знаменатели на множители, чтобы упростить выражение:

• $$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$$
• $$x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$$

Теперь перепишем выражение с учетом разложения:

$$\frac{1}{(x - 3)(x + 3)} - \frac{(x - 1)}{x + 3} \cdot \frac{2}{x - 2} + \frac{2}{x + 2} \cdot \frac{x}{(x + 1)^2} - \frac{1}{x + 1}$$

Выполним умножение дробей:

$$\frac{1}{(x - 3)(x + 3)} - \frac{2(x - 1)}{(x + 3)(x - 2)} + \frac{2x}{(x + 2)(x + 1)^2} - \frac{1}{x + 1}$$

Для сложения и вычитания дробей необходимо привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет равен: $$(x - 3)(x + 3)(x - 2)(x + 2)(x + 1)^2$$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$$\frac{(x - 2)(x + 2)(x + 1)^2}{(x - 3)(x + 3)(x - 2)(x + 2)(x + 1)^2} - \frac{2(x - 1)(x - 3)(x + 2)(x + 1)^2}{(x - 3)(x + 3)(x - 2)(x + 2)(x + 1)^2} + \frac{2x(x - 3)(x + 3)(x - 2)}{(x - 3)(x + 3)(x - 2)(x + 2)(x + 1)^2} - \frac{(x - 3)(x + 3)(x - 2)(x + 2)(x + 1)}{(x - 3)(x + 3)(x - 2)(x + 2)(x + 1)^2}$$

Объединим дроби под одним знаменателем:

$$\frac{(x - 2)(x + 2)(x + 1)^2 - 2(x - 1)(x - 3)(x + 2)(x + 1)^2 + 2x(x - 3)(x + 3)(x - 2) - (x - 3)(x + 3)(x - 2)(x + 2)(x + 1)}{(x - 3)(x + 3)(x - 2)(x + 2)(x + 1)^2}$$

Раскроем скобки и упростим числитель (это трудоемкий процесс, и его можно выполнить поэтапно):

После упрощения числителя получим:

$$\frac{-x^5 - 2x^4 + 10x^3 + 20x^2 - 9x - 18}{(x - 3)(x + 3)(x - 2)(x + 2)(x + 1)^2}$$

Разложим числитель на множители:

К сожалению, числитель не удается легко разложить на множители, чтобы сократить дробь. Таким образом, упрощенное выражение будет иметь вид:

$$\frac{-x^5 - 2x^4 + 10x^3 + 20x^2 - 9x - 18}{(x - 3)(x + 3)(x - 2)(x + 2)(x + 1)^2}$$

Или:

$$\frac{-x^5 - 2x^4 + 10x^3 + 20x^2 - 9x - 18}{(x^2 - 9)(x^2 - 4)(x + 1)^2}$$

Ответ: $$\frac{-x^5 - 2x^4 + 10x^3 + 20x^2 - 9x - 18}{(x^2 - 9)(x^2 - 4)(x + 1)^2}$$