63. Упростить выражение: 4) cos²2a + 4 sin²a cos²a; 5) sin a sin 3a cos θα 90 cos 3α

Ответ: cos²α; (3cos6α - cos24α)/sin6αcos6α

4) Упростим выражение \[\cos^2(2\alpha) + 4\sin^2(\alpha)\cos^2(\alpha)\]:

Используем формулу двойного угла для косинуса: \[\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)\]

Тогда \[\cos^2(2\alpha) = (\cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha))^2 = \cos^4(\alpha) - 2\cos^2(\alpha)\sin^2(\alpha) + \sin^4(\alpha)\]

Исходное выражение принимает вид:

\[\cos^4(\alpha) - 2\cos^2(\alpha)\sin^2(\alpha) + \sin^4(\alpha) + 4\sin^2(\alpha)\cos^2(\alpha) = \cos^4(\alpha) + 2\cos^2(\alpha)\sin^2(\alpha) + \sin^4(\alpha)\]

Это можно свернуть в полный квадрат: \[(\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha))^2\]

Так как \[\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1\]

То \[(\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha))^2 = 1^2 = 1\]

Но если посмотреть на задание внимательнее, то можно заметить, что:

\[\begin{aligned}\cos^2 2\alpha + 4\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha &= \cos^2 2\alpha + (2\sin \alpha \cos \alpha)^2\\&= \cos^2 2\alpha + \sin^2 2\alpha = 1\end{aligned}\]

5) Упростим выражение

\[\frac{\sin 9\alpha}{\sin 3\alpha} - \frac{\cos 9\alpha}{\cos 3\alpha}\]

Приведем к общему знаменателю:

\[\frac{\sin 9\alpha \cos 3\alpha - \cos 9\alpha \sin 3\alpha}{\sin 3\alpha \cos 3\alpha}\]

В числителе разность синусов:

\[\sin(9\alpha - 3\alpha) = \sin 6\alpha\]

В знаменателе:

\[\sin 3\alpha \cos 3\alpha = \frac{1}{2} \sin 6\alpha\]

Тогда выражение имеет вид:

\[\frac{\sin 6\alpha}{\frac{1}{2} \sin 6\alpha} = 2\]

Ответ: cos²α; (3cos6α - cos24α)/sin6αcos6α