Упростить выражение \(\frac{1+2x}{x-3}-\frac{x^2+3x}{5}\cdot\frac{10}{x^2-9}\) и найти его числовое значение при \(x=2\frac{2}{3}\).

Разложим на множители:

\(x^2+3x=x(x+3)\), \(x^2-9=(x-3)(x+3)\).

Тогда

\[\frac{1+2x}{x-3}-\frac{x^2+3x}{5}\cdot\frac{10}{x^2-9}=\frac{1+2x}{x-3}-\frac{x(x+3)}{5}\cdot\frac{10}{(x-3)(x+3)}.\]

Сократим и выполним умножение:

\[\frac{1+2x}{x-3}-\frac{2x}{x-3}=\frac{1+2x-2x}{x-3}=\frac1{x-3}.\]

Ограничения: \(x\ne3\), \(x\ne-3\).

Подставим \(x=2\frac23=\frac83\):

\[\frac1{x-3}=\frac1{\frac83-3}=\frac1{-\frac13}=-3.\]

Ответ: \(\frac1{x-3}\); при \(x=2\frac23\) значение равно \(-3\).