Упростить выражение и найти его значение: $$a^{-3} \cdot a^{-2}$$, при $$a = \frac{2}{3}$$.

Решение:

Упростим выражение, используя свойство степеней $$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$:

$$a^{-3} \cdot a^{-2} = a^{-3 + (-2)} = a^{-3-2} = a^{-5}$$

Теперь подставим значение $$a = \frac{2}{3}$$:

$$a^{-5} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-5}$$

Используем свойство степени с отрицательным показателем $$(\frac{x}{y})^{-n} = (\frac{y}{x})^n$$:

$$\left(\frac{2}{3}\right)^{-5} = \left(\frac{3}{2}\right)^{5}$$

Возведем дробь в пятую степень:

$$\left(\frac{3}{2}\right)^{5} = \frac{3^5}{2^5} = \frac{243}{32}$$

Ответ: $$\frac{243}{32}$$.