15. Упростите числовое выражение √27+10√2+√27-10√2.

15. Упростите числовое выражение:

$$\sqrt{27+10\sqrt{2}} + \sqrt{27-10\sqrt{2}}$$

Попробуем представить подкоренные выражения как квадраты:

$$27 + 10\sqrt{2} = 25 + 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{2} + 2 = 5^2 + 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (5 + \sqrt{2})^2$$ $$27 - 10\sqrt{2} = 25 - 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{2} + 2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (5 - \sqrt{2})^2$$

Тогда исходное выражение примет вид:

$$\sqrt{(5 + \sqrt{2})^2} + \sqrt{(5 - \sqrt{2})^2} = |5 + \sqrt{2}| + |5 - \sqrt{2}| = 5 + \sqrt{2} + 5 - \sqrt{2} = 10$$

Ответ: 10