Решение:

Для упрощения данного выражения, попробуем возвести его в квадрат и посмотреть, что получится:

Пусть $$A = \sqrt{40\sqrt{2}-57} - \sqrt{40\sqrt{2}+57}$$. Тогда

$$A^2 = (\sqrt{40\sqrt{2}-57} - \sqrt{40\sqrt{2}+57})^2$$

$$A^2 = (\sqrt{40\sqrt{2}-57})^2 - 2 \cdot \sqrt{40\sqrt{2}-57} \cdot \sqrt{40\sqrt{2}+57} + (\sqrt{40\sqrt{2}+57})^2$$

$$A^2 = 40\sqrt{2}-57 - 2 \cdot \sqrt{(40\sqrt{2}-57)(40\sqrt{2}+57)} + 40\sqrt{2}+57$$

$$A^2 = 80\sqrt{2} - 2 \cdot \sqrt{(40\sqrt{2})^2 - 57^2}$$

$$A^2 = 80\sqrt{2} - 2 \cdot \sqrt{1600 \cdot 2 - 3249}$$

$$A^2 = 80\sqrt{2} - 2 \cdot \sqrt{3200 - 3249}$$

$$A^2 = 80\sqrt{2} - 2 \cdot \sqrt{-49}$$

Поскольку под корнем отрицательное число, а мы работаем с вещественными числами, то что-то пошло не так. Заметим, что $$40\sqrt{2} - 57 < 40 \cdot 1.5 - 57 < 60 - 57 = 3$$

А $$40\sqrt{2} + 57 > 40 \cdot 1.4 + 57 > 56 + 57 > 100$$

То есть $$ \sqrt{40\sqrt{2}-57} < \sqrt{3}$$ и $$ \sqrt{40\sqrt{2}+57} > \sqrt{100} = 10$$

Отсюда следует, что исходное выражение отрицательное.

Теперь упростим выражение под корнем.

$$40\sqrt{2} - 57 = (a - b\sqrt{2})^2 = a^2 + 2b^2 - 2ab\sqrt{2}$$. Необходимо подобрать числа a и b, чтобы выполнялось:

$$\begin{cases} a^2 + 2b^2 = -57 \\ 2ab = -40\end{cases}$$

Заметим, что $$40\sqrt{2} + 57 = (a + b\sqrt{2})^2 = a^2 + 2b^2 + 2ab\sqrt{2}$$.

Возвращаемся к исходному выражению, преобразуем с учетом полученных выше соотношений:

$$\sqrt{40\sqrt{2}-57} - \sqrt{40\sqrt{2}+57} = \sqrt{(a-b\sqrt{2})^2} - \sqrt{(a+b\sqrt{2})^2} = |a-b\sqrt{2}| - |a+b\sqrt{2}|$$

Путем подбора находим, что $$a = 5, b=4$$. Подставим в систему:

$$\begin{cases} 5^2 + 2 \cdot 4^2 = 25 + 32 = 57 \\ 2 \cdot 5 \cdot 4 = 40\end{cases}$$

Таким образом: $$ \sqrt{40\sqrt{2}-57} - \sqrt{40\sqrt{2}+57} = |5-4\sqrt{2}| - |5+4\sqrt{2}| = 4\sqrt{2}-5 - (5+4\sqrt{2}) = 4\sqrt{2}-5 - 5 - 4\sqrt{2} = -10$$

Ответ: -10