Упрощение дроби

Пункт б)

Разложим числитель и знаменатель на множители:

$$x^3 + x^2 - 72x = x(x^2 + x - 72)$$

Разложим квадратный трехчлен $$x^2 + x - 72$$ на множители. Найдем корни уравнения $$x^2 + x - 72 = 0$$:

$$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1 + 288 = 289$$ $$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{289}}{2} = \frac{-1 + 17}{2} = \frac{16}{2} = 8$$ $$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{289}}{2} = \frac{-1 - 17}{2} = \frac{-18}{2} = -9$$

Тогда $$x^2 + x - 72 = (x - 8)(x + 9)$$. Следовательно,

$$x^3 + x^2 - 72x = x(x - 8)(x + 9)$$

Разложим знаменатель на множители:

$$9x - 72 = 9(x - 8)$$

Тогда дробь примет вид:

$$\frac{x^3 + x^2 - 72x}{9x - 72} = \frac{x(x - 8)(x + 9)}{9(x - 8)}$$

Сократим дробь на $$(x - 8)$$:

$$\frac{x(x - 8)(x + 9)}{9(x - 8)} = \frac{x(x + 9)}{9}$$

Ответ: $$\frac{x(x + 9)}{9}$$

Пункт в)

Разложим числитель на множители:

$$5a - a^2 = a(5 - a) = -a(a - 5)$$

Разложим знаменатель на множители:

$$5 + 34a - 7a^2 = -7a^2 + 34a + 5$$

Найдем корни квадратного уравнения $$-7a^2 + 34a + 5 = 0$$:

$$D = 34^2 - 4 \cdot (-7) \cdot 5 = 1156 + 140 = 1296 = 36^2$$ $$a_1 = \frac{-34 + \sqrt{1296}}{-14} = \frac{-34 + 36}{-14} = \frac{2}{-14} = -\frac{1}{7}$$ $$a_2 = \frac{-34 - \sqrt{1296}}{-14} = \frac{-34 - 36}{-14} = \frac{-70}{-14} = 5$$

Тогда $$-7a^2 + 34a + 5 = -7(a + \frac{1}{7})(a - 5) = -(7a + 1)(a - 5)$$. Следовательно,

$$\frac{5a - a^2}{5 + 34a - 7a^2} = \frac{-a(a - 5)}{-(7a + 1)(a - 5)}$$

Сократим дробь на $$(a - 5)$$:

$$\frac{-a(a - 5)}{-(7a + 1)(a - 5)} = \frac{-a}{-(7a + 1)} = \frac{a}{7a + 1}$$

Ответ: $$\frac{a}{7a + 1}$$