Упрощение логических выражений

1. Упростите логические выражения:

1. a) $$A \cdot \overline{A} \cdot B + B$$

   Так как $$A \cdot \overline{A} = 0$$, то выражение упрощается до:

   $$0 \cdot B + B = 0 + B = B$$

   Ответ: $$B$$

2. б) $$(A+B) \cdot (\overline{A} + \overline{B})$$

   Раскроем скобки:

   $$A \cdot \overline{A} + A \cdot \overline{B} + B \cdot \overline{A} + B \cdot \overline{B} = 0 + A \cdot \overline{B} + B \cdot \overline{A} + 0 = A \cdot \overline{B} + B \cdot \overline{A}$$

   Ответ: $$A \cdot \overline{B} + B \cdot \overline{A}$$

3. в) $$A + A \cdot B + A \cdot C$$

   Вынесем A за скобки:

   $$A \cdot (1 + B + C)$$

   Так как $$(1 + B + C) = 1$$, то выражение упрощается до:

   $$A \cdot 1 = A$$

   Ответ: $$A$$

4. г) $$A + A \cdot \overline{B} + A \cdot \overline{C}$$

   Вынесем A за скобки:

   $$A \cdot (1 + \overline{B} + \overline{C})$$

   Так как $$(1 + \overline{B} + \overline{C}) = 1$$, то выражение упрощается до:

   $$A \cdot 1 = A$$

   Ответ: $$A$$

5. д) $$A \cdot (A + B + C)$$

   Раскроем скобки:

   $$A \cdot A + A \cdot B + A \cdot C = A + A \cdot B + A \cdot C$$

   Вынесем A за скобки:

   $$A \cdot (1 + B + C)$$

   Так как $$(1 + B + C) = 1$$, то выражение упрощается до:

   $$A \cdot 1 = A$$

   Ответ: $$A$$

6. e) $$A \cdot \overline{B} + B + \overline{A} \cdot B$$

   Вынесем B за скобки в последних двух слагаемых:

   $$A \cdot \overline{B} + B \cdot (1 + \overline{A})$$

   Так как $$(1 + \overline{A}) = 1$$, то выражение упрощается до:

   $$A \cdot \overline{B} + B$$

   Ответ: $$A \cdot \overline{B} + B$$

7. ж) $$(\overline{A} + B) \cdot C \cdot (C + A \cdot B)$$

   Раскроем скобки:

   $$(\overline{A} + B) \cdot (C \cdot C + C \cdot A \cdot B) = (\overline{A} + B) \cdot (C + C \cdot A \cdot B)$$

   Так как $$(C + C \cdot A \cdot B) = C$$, то выражение упрощается до:

   $$(\overline{A} + B) \cdot C = C \cdot \overline{A} + C \cdot B$$

   Ответ: $$C \cdot \overline{A} + C \cdot B$$

8. з) $$\overline{A} \cdot C + A \cdot \overline{B} + \overline{A} \cdot C + A \cdot B$$

   Сгруппируем одинаковые слагаемые:

   $$2 \cdot \overline{A} \cdot C + A \cdot \overline{B} + A \cdot B$$

   Так как $$2 \cdot \overline{A} \cdot C = \overline{A} \cdot C$$, то выражение упрощается до:

   $$\overline{A} \cdot C + A \cdot \overline{B} + A \cdot B$$

   Ответ: $$\overline{A} \cdot C + A \cdot \overline{B} + A \cdot B$$

9. и) $$A \cdot (B \cdot \overline{C} + B \cdot C) + A \cdot (B \cdot \overline{C} + \overline{B} \cdot C)$$

   Вынесем A за скобки:

   $$A \cdot (B \cdot \overline{C} + B \cdot C + B \cdot \overline{C} + \overline{B} \cdot C)$$

   Так как $$(B \cdot \overline{C} + B \cdot C + B \cdot \overline{C} + \overline{B} \cdot C) = B \cdot C + B \cdot \overline{C} + \overline{B} \cdot C = B + \overline{B} \cdot C = B + C$$, то выражение упрощается до:

   $$A \cdot (B \cdot (\overline{C} + C) + \overline{B} \cdot C) = A \cdot (B + \overline{B} \cdot C) = A \cdot (B + C)$$, то выражение упрощается до:

   $$A \cdot (B + C)$$

   Ответ: $$A \cdot (B + C)$$