Упростите рациональное алгебраическое выражение: \(\frac{\frac{x^2}{y} - \frac{y^2}{x}}{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}\)

Решение:

Для упрощения выражения приведём числитель и знаменатель к общему знаменателю.

Числитель:

\(\frac{x^2}{y} - \frac{y^2}{x} = \frac{x^3}{xy} - \frac{y^3}{xy} = \frac{x^3 - y^3}{xy}\)

Знаменатель:

\(\frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{x^2}{xy} - \frac{y^2}{xy} = \frac{x^2 - y^2}{xy}\)

Теперь разделим числитель на знаменатель:

\(\frac{\frac{x^3 - y^3}{xy}}{\frac{x^2 - y^2}{xy}}\)

Чтобы разделить дроби, умножим первую дробь на обратную вторую:

\(\frac{x^3 - y^3}{xy} \cdot \frac{xy}{x^2 - y^2}\)

Сократим \(xy\):

\(\frac{x^3 - y^3}{x^2 - y^2}\)

Разложим числитель как разность кубов \(x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)\) и знаменатель как разность квадратов \(x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)\):

\(\frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{(x-y)(x+y)}\)

Сократим \((x-y)\):

\(\frac{x^2+xy+y^2}{x+y}\)

Ответ: \(\frac{x^2+xy+y^2}{x+y}\)