Упростите выражение: \((a^2 + 4a + 4) \cdot (\frac{5}{a+2} + \frac{4}{a^2-4} - \frac{1}{a-2})\)

Решение:

Сначала упростим первый множитель, заметив, что \(a^2 + 4a + 4 = (a+2)^2\).

Теперь преобразуем выражение во второй скобке, приведя дроби к общему знаменателю \(a^2 - 4 = (a-2)(a+2)\):

• \(\frac{5}{a+2} = \frac{5(a-2)}{(a+2)(a-2)} = \frac{5a - 10}{a^2 - 4}\)
• \(\frac{4}{a^2-4}\)
• \(\frac{1}{a-2} = \frac{1(a+2)}{(a-2)(a+2)} = \frac{a+2}{a^2 - 4}\)

Теперь сложим и вычтем дроби:

\(\frac{5a - 10}{a^2 - 4} + \frac{4}{a^2-4} - \frac{a+2}{a^2 - 4} = \frac{5a - 10 + 4 - (a+2)}{a^2 - 4} = \frac{5a - 6 - a - 2}{a^2 - 4} = \frac{4a - 8}{a^2 - 4}\)

Разложим числитель и знаменатель:

\(\frac{4(a - 2)}{(a - 2)(a + 2)}\)

Сократим \((a-2)\), получим \(\frac{4}{a+2}\).

Теперь перемножим упрощённые множители:

\((a+2)^2 \cdot \frac{4}{a+2}\)

Сократим \((a+2)\):

\((a+2) \cdot 4 = 4a + 8\)

Ответ: \(4a + 8\)