Упростите выражение $$\frac{\sqrt{4a^4-28a^3 + 49a^2} - \sqrt{4a^4 - 4a^3 + a^2}}{\sqrt{a^2-4a +4}}$$, если 2 < a < 3,5.

Прежде всего, упростим выражение под каждым квадратным корнем, где это возможно:

$$\sqrt{4a^4 - 28a^3 + 49a^2} = \sqrt{a^2(4a^2 - 28a + 49)} = \sqrt{a^2(2a - 7)^2} = |a(2a - 7)|$$

$$\sqrt{4a^4 - 4a^3 + a^2} = \sqrt{a^2(4a^2 - 4a + 1)} = \sqrt{a^2(2a - 1)^2} = |a(2a - 1)|$$

$$\sqrt{a^2 - 4a + 4} = \sqrt{(a - 2)^2} = |a - 2|$$

Поскольку 2 < a < 3.5, то:

• a > 0
• 2a - 1 > 0
• a - 2 > 0

В то же время, 2a - 7 < 0, так как 2 × 3.5 - 7 = 0.

Таким образом, абсолютные значения раскрываются следующим образом:

• |a(2a - 7)| = -a(2a - 7)
• |a(2a - 1)| = a(2a - 1)
• |a - 2| = a - 2

Подставим упрощенные выражения в исходное выражение:

$$\frac{-a(2a - 7) - a(2a - 1)}{a - 2} = \frac{-2a^2 + 7a - 2a^2 + a}{a - 2} = \frac{-4a^2 + 8a}{a - 2} = \frac{-4a(a - 2)}{a - 2}$$

Сократим (a - 2) в числителе и знаменателе:

$$\frac{-4a(a - 2)}{a - 2} = -4a$$

Ответ: -4a