Упрощение алгебраического выражения

Для упрощения данного выражения, сначала разложим на множители числитель и знаменатель первой дроби:

Разложим числитель первой дроби: $$a^2 - 4ac + 3bc$$. К сожалению, данное выражение не раскладывается на множители простым способом. Оставим его в таком виде.

Разложим знаменатель первой дроби: $$a^2 - ab + bc - ac$$

Сгруппируем члены: $$(a^2 - ab) + (bc - ac)$$

Вынесем общий множитель из каждой группы: $$a(a - b) - c(a - b)$$

Теперь вынесем общий множитель $$(a - b)$$: $$(a - b)(a - c)$$

Теперь перепишем исходное выражение с учетом разложения знаменателя первой дроби:

$$\frac{a^2 - 4ac + 3bc}{(a - b)(a - c)} + \frac{a + 3b}{b - a} + \frac{a + 2c}{a - c}$$

Заметим, что $$b - a = -(a - b)$$. Поэтому вторую дробь можно переписать как:

$$\frac{a + 3b}{b - a} = -\frac{a + 3b}{a - b}$$

Подставим это в выражение:

$$\frac{a^2 - 4ac + 3bc}{(a - b)(a - c)} - \frac{a + 3b}{a - b} + \frac{a + 2c}{a - c}$$

Приведем дроби к общему знаменателю $$(a - b)(a - c)$$. Умножим числитель и знаменатель второй дроби на $$(a - c)$$, а числитель и знаменатель третьей дроби на $$(a - b)$$:

$$\frac{a^2 - 4ac + 3bc}{(a - b)(a - c)} - \frac{(a + 3b)(a - c)}{(a - b)(a - c)} + \frac{(a + 2c)(a - b)}{(a - b)(a - c)}$$

Теперь объединим все дроби под одним знаменателем:

$$\frac{a^2 - 4ac + 3bc - (a + 3b)(a - c) + (a + 2c)(a - b)}{(a - b)(a - c)}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$\frac{a^2 - 4ac + 3bc - (a^2 - ac + 3ab - 3bc) + (a^2 - ab + 2ac - 2bc)}{(a - b)(a - c)}$$

Упростим числитель:

$$\frac{a^2 - 4ac + 3bc - a^2 + ac - 3ab + 3bc + a^2 - ab + 2ac - 2bc}{(a - b)(a - c)}$$ $$\frac{a^2 - 4ab + 4bc - ac}{(a - b)(a - c)}$$

К сожалению, числитель не упрощается далее до произведения, которое можно сократить со знаменателем.

Остается выражение:

$$\frac{a^2 - 4ab + 4bc - ac}{(a - b)(a - c)}$$

Ответ: $$\frac{a^2 - 4ab + 4bc - ac}{(a - b)(a - c)}$$