Упростите выражение: $$\left(\frac{y^2 + y}{x^2 + x}\right)^2 \cdot \left(\frac{x + 1}{y}\right)^3$$

Для упрощения выражения $$\left(\frac{y^2 + y}{x^2 + x}\right)^2 \cdot \left(\frac{x + 1}{y}\right)^3$$ выполним следующие шаги:

1. Разложим числитель и знаменатель каждой дроби на множители:
   • $$y^2 + y = y(y + 1)$$
   • $$x^2 + x = x(x + 1)$$
2. Подставим разложенные выражения в исходное выражение: $$\left(\frac{y(y + 1)}{x(x + 1)}\right)^2 \cdot \left(\frac{x + 1}{y}\right)^3$$
3. Возведем первую дробь в квадрат: $$\frac{y^2(y + 1)^2}{x^2(x + 1)^2} \cdot \frac{(x + 1)^3}{y^3}$$
4. Сократим общие множители:
   • Сократим $$y^2$$ в числителе первой дроби и $$y^3$$ в знаменателе второй дроби, остается $$y$$ в знаменателе второй дроби.
   • Сократим $$(x + 1)^2$$ в знаменателе первой дроби и $$(x + 1)^3$$ в числителе второй дроби, остается $$(x + 1)$$ в числителе второй дроби.
   $$\frac{(y + 1)^2}{x^2} \cdot \frac{x + 1}{y}$$
5. Объединим дроби: $$\frac{(y + 1)^2(x + 1)}{x^2y}$$

Ответ: $$\frac{(y + 1)^2(x + 1)}{x^2y}$$