Упростите выражение: $$rac{2y^2+7y+3}{y^2-9}$$

Для упрощения выражения $$rac{2y^2+7y+3}{y^2-9}$$ нужно разложить числитель и знаменатель на множители.

Сначала разложим числитель (2y^2 + 7y + 3). Для этого найдем корни квадратного уравнения (2y^2 + 7y + 3 = 0).

Дискриминант (D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 cdot 2 cdot 3 = 49 - 24 = 25).

Корни:

$$y_1 = rac{-b + sqrt{D}}{2a} = rac{-7 + sqrt{25}}{2 cdot 2} = rac{-7 + 5}{4} = rac{-2}{4} = -rac{1}{2}$$

$$y_2 = rac{-b - sqrt{D}}{2a} = rac{-7 - sqrt{25}}{2 cdot 2} = rac{-7 - 5}{4} = rac{-12}{4} = -3$$

Таким образом, числитель можно разложить на множители как (2(y + rac{1}{2})(y + 3) = (2y + 1)(y + 3)).

Теперь разложим знаменатель (y^2 - 9). Это разность квадратов: (y^2 - 9 = (y - 3)(y + 3)).

Теперь упростим выражение:

$$rac{2y^2+7y+3}{y^2-9} = rac{(2y + 1)(y + 3)}{(y - 3)(y + 3)}$$

Сократим общий множитель ((y + 3)):

$$rac{(2y + 1)(y + 3)}{(y - 3)(y + 3)} = rac{2y + 1}{y - 3}$$

Таким образом, упрощенное выражение равно:

$$rac{2y + 1}{y - 3}$$

Ответ: $$rac{2y + 1}{y - 3}$$