Упрощение выражения

Нам нужно упростить следующее выражение:

$$\[\left[\left(\frac{a^2}{b^3}\right)^{-2}(ab)^2\right]^{-3}a^2\right]^{-1}$$

Шаг 1: Упростим внутреннюю скобку.

Сначала упростим $$\left(\frac{a^2}{b^3}\right)^{-2}$$. Используем свойство $$\left(\frac{x}{y}\right)^{-n} = \left(\frac{y}{x}\right)^n$$:

$$\left(\frac{a^2}{b^3}\right)^{-2} = \left(\frac{b^3}{a^2}\right)^{2} = \frac{(b^3)^2}{(a^2)^2} = \frac{b^6}{a^4}$$

Теперь упростим $$(ab)^2$$:

$$(ab)^2 = a^2b^2$$

Подставим полученные выражения обратно:

$$\left[\left(\frac{a^2}{b^3}\right)^{-2}(ab)^2\right] = \frac{b^6}{a^4} \cdot a^2b^2 = \frac{b^6a^2b^2}{a^4} = \frac{a^2b^8}{a^4} = \frac{b^8}{a^2}$$

Шаг 2: Упростим выражение в квадратных скобках.

Подставим упрощенное выражение в квадратные скобки:

$$\left[\left(\frac{b^8}{a^2}\right)^{-3}a^2\right]^{-1}$$

Сначала упростим $$\left(\frac{b^8}{a^2}\right)^{-3}$$:

$$\left(\frac{b^8}{a^2}\right)^{-3} = \left(\frac{a^2}{b^8}\right)^{3} = \frac{(a^2)^3}{(b^8)^3} = \frac{a^6}{b^{24}}$$

Теперь умножим на $$a^2$$:

$$\frac{a^6}{b^{24}} \cdot a^2 = \frac{a^8}{b^{24}}$$

Шаг 3: Возведем все выражение в степень -1.

$$\left(\frac{a^8}{b^{24}}\right)^{-1} = \frac{b^{24}}{a^8}$$

Итоговый ответ:

$$\frac{b^{24}}{a^8}$$