8. Упростите выражение \(\frac{16x^2 - a^2}{2x} - \frac{x^2}{20x+5a}\) и найдите его значение при х = −10; a = 31.

Для упрощения выражения \(\frac{16x^2 - a^2}{2x} - \frac{x^2}{20x+5a}\) приведем дроби к общему знаменателю.

Сначала разложим знаменатели на множители:

\(2x\) уже в простейшем виде.

\(20x + 5a = 5(4x + a)\)

Тогда общий знаменатель будет \(10x(4x+a)\).

Преобразуем первую дробь:

\(\frac{16x^2 - a^2}{2x} = \frac{(16x^2 - a^2) mes 5(4x+a)}{2x \times 5(4x+a)} = \frac{5(4x - a)(4x + a)}{10x(4x + a)}\)

Преобразуем вторую дробь:

\(\frac{x^2}{5(4x + a)} = \frac{x^2 \times 2x}{5(4x + a) \times 2x} = \frac{2x^3}{10x(4x + a)}\)

Теперь вычтем дроби:

\(\frac{5(4x - a)(4x + a)x - 2x^3}{10x(4x + a)} = \frac{5(16x^2 - a^2) - 2x^3}{10x(4x + a)} = \frac{80x^2 - 5a^2 - 2x^3}{10x(4x + a)}\)

При \(x = -10\) и \(a = 31\):

\(\frac{80(-10)^2 - 5(31)^2 - 2(-10)^3}{10(-10)(4(-10) + 31)} = \frac{80(100) - 5(961) + 2000}{-100(-40 + 31)} = \frac{8000 - 4805 + 2000}{-100(-9)} = \frac{5195}{900} = \frac{1039}{180}\)

Упростим дробь \(\frac{16x^2 - a^2}{2x} - \frac{x^2}{20x+5a}\) еще раз:

\(\frac{5(16x^2 - a^2) - 2x^3}{10x(4x+a)} = \frac{80x^2 - 5a^2 - 2x^3}{10x(4x+a)}\)

Рассмотрим упрощенное выражение: \(\frac{80x^2 - 5a^2 - 2x^3}{10x(4x+a)}\)

Подставим значения \(x = -10\) и \(a = 31\):

\(\frac{80(-10)^2 - 5(31)^2 - 2(-10)^3}{10(-10)(4(-10)+31)} = \frac{8000 - 4805 + 2000}{-100(-40+31)} = \frac{5195}{900} = \frac{1039}{180}\)

Десятичная дробь: \(\frac{1039}{180} \approx 5.772\)

Ответ: \(\frac{1039}{180}\)