2. Упростите выражение: 1) $$5\sqrt{2}-4\sqrt{8}+3\sqrt{32}$$; 2) $$\frac{a-1}{a-2\sqrt{a}+1}$$. 3. Сравните числа $$3\sqrt{5}$$ и $$5\sqrt{2}$$. 4. Вынесите множитель из-под знака корня: 1) $$\sqrt{3a^2}$$, если $$a < 0$$; 2) $$\sqrt{-a^{11}}$$; 3) $$\sqrt{-m^5n^{18}}$$, если $$n > 0$$ 6. Внесите множитель под знак корня: 1) $$a\sqrt{5}$$, если $$a > 0$$; 2) $$(5-x)\sqrt{\frac{1}{3x-15}}$$. 8. Найдите область определения функции: 1) $$y = \sqrt{x-2}+\sqrt{7-2x}$$; 2) $$y = \frac{1}{\sqrt{x-4}}$$. 9. Для каждого значения параметра $$a$$ решите уравнение $$(x+8)\sqrt{x}-2a = 0$$.

2. Упростите выражение:

1) $$5\sqrt{2}-4\sqrt{8}+3\sqrt{32}$$

Преобразуем выражение:

$$\begin{aligned} 5\sqrt{2}-4\sqrt{8}+3\sqrt{32} &= 5\sqrt{2}-4\sqrt{4\cdot 2}+3\sqrt{16\cdot 2} \\ &= 5\sqrt{2}-4\cdot 2\sqrt{2}+3\cdot 4\sqrt{2} \\ &= 5\sqrt{2}-8\sqrt{2}+12\sqrt{2} \\ &= (5-8+12)\sqrt{2} \\ &= 9\sqrt{2} \end{aligned}$$

Ответ: $$9\sqrt{2}$$

2) $$\frac{a-1}{a-2\sqrt{a}+1}$$

Преобразуем выражение:

$$\begin{aligned} \frac{a-1}{a-2\sqrt{a}+1} &= \frac{(\sqrt{a})^2-1}{(\sqrt{a})^2-2\sqrt{a}+1} \\ &= \frac{(\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}+1)}{(\sqrt{a}-1)^2} \\ &= \frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1} \end{aligned}$$

Ответ: $$\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}$$

3. Сравните числа $$3\sqrt{5}$$ и $$5\sqrt{2}$$.

Возведем оба числа в квадрат:

$$\begin{aligned} (3\sqrt{5})^2 &= 9 \cdot 5 = 45 \\ (5\sqrt{2})^2 &= 25 \cdot 2 = 50 \end{aligned}$$

Так как $$45 < 50$$, то $$3\sqrt{5} < 5\sqrt{2}$$.

Ответ: $$3\sqrt{5} < 5\sqrt{2}$$

4. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $$\sqrt{3a^2}$$, если $$a < 0$$

Так как $$a < 0$$, то $$\sqrt{a^2} = |a| = -a$$. Следовательно,

$$\sqrt{3a^2} = \sqrt{3}\cdot \sqrt{a^2} = \sqrt{3}(-a) = -a\sqrt{3}$$

Ответ: $$-a\sqrt{3}$$

2) $$\sqrt{-a^{11}}$$

Представим $$a^{11}$$ как $$a^{10} \cdot a$$. Тогда

$$\sqrt{-a^{11}} = \sqrt{-a^{10}\cdot a} = \sqrt{a^{10}\cdot (-a)} = \sqrt{(a^5)^2 \cdot (-a)} = |a^5|\sqrt{-a} = |a|^5\sqrt{-a}$$

Ответ: $$|a|^5\sqrt{-a}$$

3) $$\sqrt{-m^5n^{18}}$$, если $$n > 0$$

Представим $$m^5$$ как $$m^4 \cdot m$$. Тогда

$$\sqrt{-m^5n^{18}} = \sqrt{-m^4 \cdot m \cdot n^{18}} = \sqrt{m^4n^{18}\cdot (-m)} = \sqrt{(m^2n^9)^2 \cdot (-m)} = |m^2n^9|\sqrt{-m} = m^2|n|^9\sqrt{-m}$$

Ответ: $$m^2|n|^9\sqrt{-m}$$

6. Внесите множитель под знак корня:

1) $$a\sqrt{5}$$, если $$a > 0$$

Так как $$a > 0$$, то $$a = \sqrt{a^2}$$. Следовательно,

$$a\sqrt{5} = \sqrt{a^2}\cdot \sqrt{5} = \sqrt{5a^2}$$

Ответ: $$\sqrt{5a^2}$$

2) $$(5-x)\sqrt{\frac{1}{3x-15}}$$

Преобразуем выражение под корнем:

$$\sqrt{\frac{1}{3x-15}} = \sqrt{\frac{1}{3(x-5)}}$$

Тогда,

$$(5-x)\sqrt{\frac{1}{3x-15}} = (5-x)\sqrt{\frac{1}{3(x-5)}} = -(x-5)\sqrt{\frac{1}{3(x-5)}} = -\sqrt{\frac{(x-5)^2}{3(x-5)}} = -\sqrt{\frac{x-5}{3}}$$

Ответ: $$-\sqrt{\frac{x-5}{3}}$$

8. Найдите область определения функции:

1) $$y = \sqrt{x-2}+\sqrt{7-2x}$$

Область определения находится из системы неравенств:

$$\begin{cases} x-2 \geq 0 \\ 7-2x \geq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \geq 2 \\ 2x \leq 7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \geq 2 \\ x \leq 3.5 \end{cases} \Rightarrow 2 \leq x \leq 3.5$$

Ответ: $$[2; 3.5]$$

2) $$y = \frac{1}{\sqrt{x-4}}$$

Область определения находится из условия:

$$x-4 > 0 \Rightarrow x > 4$$

Ответ: $$(4; +\infty)$$

9. Для каждого значения параметра $$a$$ решите уравнение $$(x+8)\sqrt{x}-2a = 0$$.

Преобразуем уравнение:

$$(x+8)\sqrt{x} = 2a \Rightarrow x\sqrt{x}+8\sqrt{x} = 2a$$

Пусть $$\sqrt{x} = t$$, тогда $$x = t^2$$, и уравнение примет вид:

$$t^3+8t = 2a$$

Рассмотрим функцию $$f(t) = t^3+8t$$. Ее производная $$f'(t) = 3t^2+8 > 0$$ для всех $$t$$. Значит, функция $$f(t)$$ возрастает на всей числовой прямой.

Следовательно, для каждого значения $$a$$ существует единственное значение $$t$$, такое что $$f(t) = 2a$$.

Выразим $$t$$ через $$a$$:

$$t^3+8t = 2a \Rightarrow t = \sqrt[3]{a+\sqrt{a^2+\frac{512}{27}}} + \sqrt[3]{a-\sqrt{a^2+\frac{512}{27}}}$$

Тогда, $$x = t^2$$, и корень уравнения равен:

$$x = \left(\sqrt[3]{a+\sqrt{a^2+\frac{512}{27}}} + \sqrt[3]{a-\sqrt{a^2+\frac{512}{27}}}\right)^2$$

Так как $$\sqrt{x} = t$$, то $$t \geq 0$$. Следовательно, $$x \geq 0$$.

Ответ: $$x = \left(\sqrt[3]{a+\sqrt{a^2+\frac{512}{27}}} + \sqrt[3]{a-\sqrt{a^2+\frac{512}{27}}}\right)^2$$