Упростите выражение: $$(2\sqrt{5} + \sqrt{7})(2\sqrt{7} - \sqrt{5})$$

Для упрощения данного выражения нужно раскрыть скобки, используя правило умножения многочлена на многочлен. Затем приведем подобные слагаемые.

Шаг 1: Раскрываем скобки, умножая каждый член первой скобки на каждый член второй скобки:

$$ (2\sqrt{5} + \sqrt{7})(2\sqrt{7} - \sqrt{5}) = 2\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{7} - 2\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} + \sqrt{7} \cdot 2\sqrt{7} - \sqrt{7} \cdot \sqrt{5} $$

Шаг 2: Упрощаем каждое произведение:

$$ 2\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{7} = 4\sqrt{35} $$ $$ 2\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 2 \cdot 5 = 10 $$ $$ \sqrt{7} \cdot 2\sqrt{7} = 2 \cdot 7 = 14 $$ $$ \sqrt{7} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{35} $$

Шаг 3: Подставляем полученные значения обратно в выражение:

$$ 4\sqrt{35} - 10 + 14 - \sqrt{35} $$

Шаг 4: Приводим подобные слагаемые (слагаемые с корнями и числа):

$$ (4\sqrt{35} - \sqrt{35}) + (14 - 10) $$ $$ 3\sqrt{35} + 4 $$

Таким образом, упрощенное выражение равно $$3\sqrt{35} + 4$$.

Ответ: $$3\sqrt{35} + 4$$