Упрощение выражений

1) $$\sqrt{27 + 10\sqrt{2}}$$

Представим подкоренное выражение в виде квадрата суммы: $$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

Заметим, что $$10\sqrt{2} = 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{2}$$. Тогда $$27 = 25 + 2 = 5^2 + (\sqrt{2})^2$$.

Таким образом, $$\sqrt{27 + 10\sqrt{2}} = \sqrt{5^2 + 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{(5 + \sqrt{2})^2} = |5 + \sqrt{2}| = 5 + \sqrt{2}$$

Ответ: $$5 + \sqrt{2}$$

2) $$\sqrt{14 - 2\sqrt{13}}$$

Представим подкоренное выражение в виде квадрата разности: $$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$

Заметим, что $$2\sqrt{13} = 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{13}$$. Тогда $$14 = 13 + 1 = (\sqrt{13})^2 + 1^2$$.

Таким образом, $$\sqrt{14 - 2\sqrt{13}} = \sqrt{(\sqrt{13})^2 - 2 \cdot \sqrt{13} \cdot 1 + 1^2} = \sqrt{(\sqrt{13} - 1)^2} = |\sqrt{13} - 1| = \sqrt{13} - 1$$

Ответ: $$\sqrt{13} - 1$$

3) $$\sqrt{25+4\sqrt{21}} + \sqrt{70-14\sqrt{21}}$$

Разложим первое подкоренное выражение:

$$4\sqrt{21} = 2 \cdot 2 \sqrt{21}$$. $$25 = 4 + 21 = 2^2 + (\sqrt{21})^2$$

$$\sqrt{25+4\sqrt{21}} = \sqrt{4 + 4\sqrt{21} + 21} = \sqrt{(2 + \sqrt{21})^2} = 2 + \sqrt{21}$$

Разложим второе подкоренное выражение:

$$14\sqrt{21} = 2 \cdot 7 \sqrt{21}$$. $$70 = 49 + 21 = 7^2 + (\sqrt{21})^2$$

$$\sqrt{70-14\sqrt{21}} = \sqrt{49 - 2 \cdot 7 \cdot \sqrt{21} + 21} = \sqrt{(7 - \sqrt{21})^2} = 7 - \sqrt{21}$$

Сложим полученные выражения:

$$(2 + \sqrt{21}) + (7 - \sqrt{21}) = 2 + 7 = 9$$

Ответ: $$9$$

4) $$\sqrt{24-6\sqrt{15}} - \sqrt{115-20\sqrt{15}}$$

Разложим первое подкоренное выражение:

$$6\sqrt{15} = 2 \cdot 3 \sqrt{15}$$. $$24 = 9 + 15 = 3^2 + (\sqrt{15})^2$$

$$\sqrt{24-6\sqrt{15}} = \sqrt{9 - 2 \cdot 3 \sqrt{15} + 15} = \sqrt{(3 - \sqrt{15})^2} = \sqrt{15} - 3$$

Разложим второе подкоренное выражение:

$$20\sqrt{15} = 2 \cdot 10 \sqrt{15}$$. $$115 = 100 + 15 = 10^2 + (\sqrt{15})^2$$

$$\sqrt{115-20\sqrt{15}} = \sqrt{100 - 2 \cdot 10 \sqrt{15} + 15} = \sqrt{(10 - \sqrt{15})^2} = 10 - \sqrt{15}$$

Вычтем полученные выражения:

$$(\sqrt{15} - 3) - (10 - \sqrt{15}) = \sqrt{15} - 3 - 10 + \sqrt{15} = 2\sqrt{15} - 13$$

Ответ: $$2\sqrt{15} - 13$$