Упростите выражение (а - 6)(а + 6)(36 + a²) - (a² - 18)² и найдите его значение при а = -1/6.

Решение:

1. Упрощаем первую часть: (а - 6)(а + 6)(36 + a²)
   Сначала используем формулу разности квадратов (a - b)(a + b) = a² - b² для (а - 6)(а + 6):
   \[ (a^2 - 6^2)(36 + a^2) = (a^2 - 36)(a^2 + 36) \]Теперь снова используем формулу разности квадратов для (a^2 - 36)(a^2 + 36):
   \[ (a^2)^2 - 36^2 = a^4 - 1296 \]
2. Упрощаем вторую часть: (a² - 18)²
   Используем формулу квадрата разности (a - b)² = a² - 2ab + b²:
   \[ (a^2)^2 - 2 \times a^2 \times 18 + 18^2 = a^4 - 36a^2 + 324 \]
3. Вычитаем вторую часть из первой:

(a^4 - 1296) - (a^4 - 36a^2 + 324)

Раскроем скобки:

a^4 - 1296 - a^4 + 36a^2 - 324

Приведем подобные слагаемые:

(a^4 - a^4) + 36a^2 + (-1296 - 324)

= 36a^2 - 1620

4. Находим значение выражения при a = -1/6:

Подставляем a = -1/6 в упрощенное выражение 36a^2 - 1620:

\[ 36 \left(-\frac{1}{6}\right)^2 - 1620 \]

\[ 36 \left(\frac{1}{36}\right) - 1620 \]

\[ 1 - 1620 \]

\[ -1619 \]

Ответ: -1619