Упростите выражение \(\frac{4a^2}{a^2-4} - \frac{a+2}{2a}\). Ответ:

Решение:

Приведём дроби к общему знаменателю.

1. Разложим знаменатель первой дроби на множители: \(a^2 - 4 = (a-2)(a+2)\).
2. Общий знаменатель для \((a-2)(a+2)\) и \(2a\) будет \(2a(a-2)(a+2)\).
3. Приведём первую дробь к общему знаменателю: \[ \frac{4a^2}{(a-2)(a+2)} = \frac{4a^2 \cdot 2a}{2a(a-2)(a+2)} = \frac{8a^3}{2a(a-2)(a+2)} \]
4. Приведём вторую дробь к общему знаменателю: \[ \frac{a+2}{2a} = \frac{(a+2) \cdot (a-2)(a+2)}{2a(a-2)(a+2)} = \frac{(a+2)^2(a-2)}{2a(a-2)(a+2)} \]
5. Выполним вычитание: \[ \frac{8a^3}{2a(a-2)(a+2)} - \frac{(a+2)^2(a-2)}{2a(a-2)(a+2)} \]
6. Раскроем скобки в числителе: \((a+2)^2(a-2) = (a^2+4a+4)(a-2) = a^3 - 2a^2 + 4a^2 - 8a + 4a - 8 = a^3 + 2a^2 - 4a - 8\)
7. Вычитаем числители: \[ 8a^3 - (a^3 + 2a^2 - 4a - 8) = 8a^3 - a^3 - 2a^2 + 4a + 8 = 7a^3 - 2a^2 + 4a + 8 \]
8. Таким образом, упрощённое выражение: \[ \frac{7a^3 - 2a^2 + 4a + 8}{2a(a^2-4)} \]

Ответ: \(\frac{7a^3 - 2a^2 + 4a + 8}{2a(a^2-4)}\)