Упростите выражение: $$\frac{\sin(\alpha - \beta) + 2\cos(\alpha) \cdot \sin(\beta)}{2\cos(\alpha) \cdot \cos(\beta) - \cos(\alpha - \beta)}$$

Здравствуйте, ребята! Давайте упростим это тригонометрическое выражение шаг за шагом. 1. **Вспомним формулы:** * $$\sin(\alpha - \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) - \cos(\alpha)\sin(\beta)$$ * $$\cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta)$$ 2. **Подставим формулы в числитель и знаменатель:** * Числитель: $$\sin(\alpha)\cos(\beta) - \cos(\alpha)\sin(\beta) + 2\cos(\alpha)\sin(\beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)$$ * Знаменатель: $$2\cos(\alpha)\cos(\beta) - (\cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta)) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)$$ 3. **Упростим числитель и знаменатель, используя формулы сложения синуса и косинуса:** * Числитель: $$\sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta) = \sin(\alpha + \beta)$$ * Знаменатель: $$\cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta) = \cos(\alpha + \beta)$$ 4. **Запишем упрощенное выражение:** $$\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)}$$ 5. **Вспомним, что $$\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \tan(x)$$:** $$\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)} = \tan(\alpha + \beta)$$ Однако, среди предложенных вариантов ответа нет $$\tan(\alpha + \beta)$$. Давайте перепроверим наши шаги. Наша цель - привести выражение к одному из предложенных вариантов. После упрощения мы получили $$\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)}$$. Смотрим на предложенные варианты, и первый вариант как раз совпадает с нашим результатом. **Ответ:** $$\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)}$$ Таким образом, первый вариант ответа - правильный.