Решение задач

1. Тип 8 № 406539

Упростите выражение $$\frac{a-2}{a^2} : \frac{a-2}{a^2+3a}$$ и найдите его значение при $$a = 1,5$$. В ответе запишите найденное значение.

$$\frac{a-2}{a^2} : \frac{a-2}{a^2+3a} = \frac{a-2}{a^2} \cdot \frac{a(a+3)}{a-2} = \frac{a+3}{a}$$

При $$a = 1,5$$:

$$\frac{1,5 + 3}{1,5} = \frac{4,5}{1,5} = 3$$

Ответ: 3

2. Тип 8 № 353301

Найдите значение выражения $$\frac{y}{x^2-y^2} : \frac{y}{x^2+xy}$$ при $$x = 1,2$$, $$y = 0,4$$

$$\frac{y}{x^2-y^2} : \frac{y}{x^2+xy} = \frac{y}{(x-y)(x+y)} \cdot \frac{x(x+y)}{y} = \frac{x}{x-y}$$

При $$x = 1,2$$, $$y = 0,4$$:

$$\frac{1,2}{1,2 - 0,4} = \frac{1,2}{0,8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1,5$$

Ответ: 1,5

3. Тип 8 № 353078

Найдите значение выражения $$\frac{a}{4c} - \frac{a^2+16c^2}{4ac} + \frac{4c-a}{a}$$ при $$a = 34$$, $$c = 83$$

$$\frac{a}{4c} - \frac{a^2+16c^2}{4ac} + \frac{4c-a}{a} = \frac{a^2 - a^2 - 16c^2 + 16c^2 - 4ac}{4ac} = \frac{-4ac}{4ac} = -1$$

Ответ: -1

4. Тип 8 № 353059

Найдите значение выражения $$\left(\frac{2b}{5a} - \frac{5a}{2b}\right) \cdot \frac{1}{2b+5a}$$ при $$a = \frac{1}{5}$$, $$b = \frac{1}{9}$$

$$\left(\frac{2b}{5a} - \frac{5a}{2b}\right) \cdot \frac{1}{2b+5a} = \frac{4b^2 - 25a^2}{10ab} \cdot \frac{1}{2b+5a} = \frac{(2b-5a)(2b+5a)}{10ab(2b+5a)} = \frac{2b-5a}{10ab}$$

При $$a = \frac{1}{5}$$, $$b = \frac{1}{9}$$:

$$\frac{2 \cdot \frac{1}{9} - 5 \cdot \frac{1}{5}}{10 \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{9}} = \frac{\frac{2}{9} - 1}{\frac{2}{9}} = \frac{-\frac{7}{9}}{\frac{2}{9}} = -\frac{7}{2} = -3,5$$

Ответ: -3,5

5. Тип 8 № 352876

Найдите значение выражения $$\frac{4ac^2}{a^2-c^2} \cdot \frac{a+c}{ac}$$ при $$a = 3,1$$, $$c = 3,6$$

$$\frac{4ac^2}{a^2-c^2} \cdot \frac{a+c}{ac} = \frac{4ac^2}{(a-c)(a+c)} \cdot \frac{a+c}{ac} = \frac{4c}{a-c}$$

При $$a = 3,1$$, $$c = 3,6$$:

$$\frac{4 \cdot 3,6}{3,1 - 3,6} = \frac{14,4}{-0,5} = -28,8$$

Ответ: -28,8

6. Тип 8 № 341704

Найдите значение выражения $$\left(\frac{1}{5a} + \frac{1}{7a}\right) \cdot \frac{a^2}{4}$$ при $$a = 7,7$$

$$\left(\frac{1}{5a} + \frac{1}{7a}\right) \cdot \frac{a^2}{4} = \frac{7a+5a}{35a^2} \cdot \frac{a^2}{4} = \frac{12a}{35a^2} \cdot \frac{a^2}{4} = \frac{12a^3}{140a^2} = \frac{3a}{35}$$

При $$a = 7,7$$:

$$\frac{3 \cdot 7,7}{35} = \frac{23,1}{35} = 0,66$$

Ответ: 0,66