3.20. Упростите выражение и найдите его значение:

a) $$\frac{-x^2+5x}{1-6x} + \frac{41x^2-2x}{6x-1}$$ при $$x=\frac{1}{28}$$

1. Преобразуем вторую дробь, вынеся минус из знаменателя: $$\frac{-x^2+5x}{1-6x} - \frac{41x^2-2x}{1-6x}$$
2. Объединим дроби: $$\frac{-x^2+5x-(41x^2-2x)}{1-6x} = \frac{-x^2+5x-41x^2+2x}{1-6x} = \frac{-42x^2+7x}{1-6x}$$
3. Вынесем общий множитель из числителя: $$\frac{7x(-6x+1)}{1-6x} = 7x$$
4. Подставим значение $$x=\frac{1}{28}$$: $$7 \cdot \frac{1}{28} = \frac{7}{28} = \frac{1}{4}$$

Ответ: $$\frac{1}{4}$$

б) $$\frac{(m-1)^2}{m^3+27} + \frac{8-m}{m^3+27}$$ при $$m=-3,5$$

1. Объединим дроби: $$\frac{(m-1)^2+8-m}{m^3+27}$$
2. Раскроем скобки в числителе: $$\frac{m^2-2m+1+8-m}{m^3+27} = \frac{m^2-3m+9}{m^3+27}$$
3. Разложим знаменатель по формуле суммы кубов: $$m^3+27 = (m+3)(m^2-3m+9)$$
4. Сократим дробь: $$\frac{m^2-3m+9}{(m+3)(m^2-3m+9)} = \frac{1}{m+3}$$
5. Подставим значение $$m=-3,5$$: $$\frac{1}{-3,5+3} = \frac{1}{-0,5} = -2$$

Ответ: $$-2$$

в) $$\frac{4c^2-8c}{3c-2} - \frac{2c+5c^2}{2-3c}$$ при $$c=\frac{2}{9}$$

1. Преобразуем вторую дробь, вынеся минус из знаменателя: $$\frac{4c^2-8c}{3c-2} + \frac{2c+5c^2}{3c-2}$$
2. Объединим дроби: $$\frac{4c^2-8c+2c+5c^2}{3c-2} = \frac{9c^2-6c}{3c-2}$$
3. Вынесем общий множитель из числителя: $$\frac{3c(3c-2)}{3c-2} = 3c$$
4. Подставим значение $$c=\frac{2}{9}$$: $$3 \cdot \frac{2}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$$

Ответ: $$\frac{2}{3}$$

г) $$\frac{n^2+n+1}{n^3-8} + \frac{n+3}{8-n^3}$$ при $$n=-4$$

1. Преобразуем вторую дробь, вынеся минус из знаменателя: $$\frac{n^2+n+1}{n^3-8} - \frac{n+3}{n^3-8}$$
2. Объединим дроби: $$\frac{n^2+n+1-(n+3)}{n^3-8} = \frac{n^2+n+1-n-3}{n^3-8} = \frac{n^2-2}{n^3-8}$$
3. Разложим знаменатель по формуле разности кубов: $$n^3-8 = (n-2)(n^2+2n+4)$$
4. Подставим значение $$n=-4$$: $$\frac{(-4)^2-2}{(-4)^3-8} = \frac{16-2}{-64-8} = \frac{14}{-72} = -\frac{7}{36}$$

Ответ: $$\frac{-7}{36}$$