Упростите выражение <math>\(\frac{y^2 - x^2}{x^2 + 3}\) </math> <math> · </math> <math>\(\left\)\(\frac{xy + 3}{x^2 - 2xy + y^2} + \frac{x}{x - y}\right\)</math>

Решение:

1. Приведём к общему знаменателю вторую дробь в скобках: \( \frac{x}{x - y} = \frac{x(x + y)}{(x - y)(x + y)} = \frac{x^2 + xy}{x^2 - y^2} \).
2. Сложим дроби в скобках: \( \frac{xy + 3}{x^2 - 2xy + y^2} + \frac{x^2 + xy}{x^2 - y^2} \). Обратим внимание, что знаменатель первой дроби \( x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2 \) и знаменатель второй дроби \( x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) \).
3. Приведём к общему знаменателю \( (x-y)^2(x+y) \): \( \frac{(xy + 3)(x + y)}{(x - y)^2(x + y)} + \frac{(x^2 + xy)(x - y)}{(x - y)^2(x + y)} = \frac{x^2y + xy^2 + 3x + 3y + x^3 - x^2y + x^2y - xy^2}{(x - y)^2(x + y)} = \frac{x^3 + 3x + 3y}{(x - y)^2(x + y)} \).
4. Теперь умножим первую дробь на полученное выражение: \( \frac{y^2 - x^2}{x^2 + 3} \cdot \frac{x^3 + 3x + 3y}{(x - y)^2(x + y)} \).
5. Заметим, что \( y^2 - x^2 = -(x^2 - y^2) = -(x - y)(x + y) \).
6. Подставим это в выражение: \( \frac{-(x - y)(x + y)}{x^2 + 3} \cdot \frac{x^3 + 3x + 3y}{(x - y)^2(x + y)} = \frac{-(x - y)(x + y)(x^3 + 3x + 3y)}{(x^2 + 3)(x - y)^2(x + y)} \).
7. Сократим общие множители \( (x - y) \) и \( (x + y) \): \( \frac{-(x^3 + 3x + 3y)}{ (x^2 + 3)(x - y)} \).

Ответ: \(-\frac{x^3 + 3x + 3y}{(x^2 + 3)(x - y)}\).