Упростите выражение: при a > 0, b > 0; (1 / (a^(sqrt(2)-1)))^(sqrt(2)+1)

Решение:

Для упрощения выражения воспользуемся свойством степеней \( (x^m)^n = x^{m \cdot n} \) и правилом умножения степеней с одинаковым основанием.

Данное выражение: \( \left( \frac{1}{a^{\sqrt{2}-1}} \right)^{\sqrt{2}+1} \)

Применим свойство \( \left( \frac{1}{x} \right)^n = x^{-n} \):

\( \left( a^{-(\sqrt{2}-1)} \right)^{\sqrt{2}+1} \)

Теперь применим свойство \( (x^m)^n = x^{m \cdot n} \):

\( a^{-(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} \)

Раскроем скобки в показателе степени, используя формулу разности квадратов \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \):

\( -(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1) = - ((\sqrt{2})^2 - 1^2) = - (2 - 1) = -1 \)

Таким образом, выражение упрощается до:

\( a^{-1} \)

Или, что то же самое:

\( \frac{1}{a} \)

Ответ: \( \frac{1}{a} \)