Упростите выражение: при a > 0, b > 0; (⁴√a) / (b⁻⁴ * ⁴√(b⁸a³))

Решение:

Для упрощения выражения преобразуем корни в степени и воспользуемся свойствами степеней.

Дано выражение: \( \frac{\sqrt[4]{a}}{b^{-4} \sqrt[4]{b^8 a^3}} \)

Представим корни в виде степеней:

\[ \sqrt[4]{a} = a^{\frac{1}{4}} \]

\[ \sqrt[4]{b^8 a^3} = (b^8 a^3)^{\frac{1}{4}} = b^{8 \cdot \frac{1}{4}} a^{3 \cdot \frac{1}{4}} = b^2 a^{\frac{3}{4}} \]

Подставим это в исходное выражение:

\[ \frac{a^{\frac{1}{4}}}{b^{-4} \cdot b^2 a^{\frac{3}{4}}} \]

Объединим степени с одинаковым основанием в знаменателе:

\[ b^{-4} \cdot b^2 = b^{-4+2} = b^{-2} \]

Теперь выражение имеет вид:

\[ \frac{a^{\frac{1}{4}}}{b^{-2} a^{\frac{3}{4}}} \]

Разделим степени с одинаковым основанием, вычитая показатели:

\[ \frac{a^{\frac{1}{4}}}{a^{\frac{3}{4}}} = a^{\frac{1}{4} - \frac{3}{4}} = a^{-\frac{2}{4}} = a^{-\frac{1}{2}} \]

\[ \frac{1}{b^{-2}} = b^2 \]

Объединяя результаты, получаем:

\[ a^{-\frac{1}{2}} b^2 = \frac{b^2}{a^{\frac{1}{2}}} \]

Представим степень \( a^{\frac{1}{2}} \) в виде квадратного корня:

\[ \frac{b^2}{\sqrt{a}} \]

Ответ: \( \frac{b^2}{\sqrt{a}} \)