Упростите выражение: \(\sqrt{49 - 14\sqrt{8} + 8} + \sqrt{8}\)

Давайте упростим данное выражение шаг за шагом. 1. Сначала рассмотрим выражение под первым квадратным корнем: \(49 - 14\sqrt{8} + 8\). Это можно переписать как \(57 - 14\sqrt{8}\). 2. Заметим, что \(8 = 2^3\), поэтому \(\sqrt{8} = \sqrt{2^3} = 2\sqrt{2}\). Тогда \(14\sqrt{8} = 14 \cdot 2\sqrt{2} = 28\sqrt{2}\). 3. Теперь выражение становится \(57 - 28\sqrt{2}\). Попробуем представить это как полный квадрат. Заметим, что \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\). Мы ищем такие (a) и (b), что \(a^2 + b^2 = 57) и \(2ab = 28\sqrt{2}\), то есть \(ab = 14\sqrt{2}\). 4. Предположим, что \(a = x) и \(b = y\sqrt{2}\). Тогда \(xy\sqrt{2} = 14\sqrt{2}\), следовательно, \(xy = 14\). Попробуем \(x = 7) и \(y = 2\). Тогда \(a = 7) и \(b = 2\sqrt{2}\). Проверим: \(a^2 + b^2 = 7^2 + (2\sqrt{2})^2 = 49 + 4 \cdot 2 = 49 + 8 = 57\). Это подходит. 5. Значит, \(57 - 28\sqrt{2} = (7 - 2\sqrt{2})^2\). Тогда \(\sqrt{57 - 28\sqrt{2}} = \sqrt{(7 - 2\sqrt{2})^2} = |7 - 2\sqrt{2}|\). Поскольку \(7 > 2\sqrt{2}\) (так как \(49 > 8\)), то \(|7 - 2\sqrt{2}| = 7 - 2\sqrt{2}\). 6. Исходное выражение теперь выглядит так: \(7 - 2\sqrt{2} + \sqrt{8}\). Учитывая, что \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\), получаем \(7 - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 7\). Таким образом, \(\sqrt{49 - 14\sqrt{8} + 8} + \sqrt{8} = 7\). **Ответ: 7**