Упростите выражение (y² - x²) / (x² + 3) * [(xy + 3) / (x² - 2xy + y²) + x / (x - y)].

Привет! Давай упростим это сложное выражение по частям.

Шаг 1: Преобразуем первую дробь.

Числитель ransl{ y² - x² } — это разность квадратов. Вспоминаем формулу: ransl{ a² - b² = (a - b)(a + b) }. В нашем случае это ransl{ (y - x)(y + x) }.

Знаменатель ransl{ x² + 3 } пока оставляем без изменений.

Итак, первая дробь: ransl{ \(\frac{(y - x)(y + x)}{x² + 3}\) }

Шаг 2: Преобразуем выражение в квадратных скобках.

Сначала посмотрим на вторую дробь внутри скобок: ransl{ \(\frac{xy + 3}{x² - 2xy + y²}\) }. Знаменатель ransl{ x² - 2xy + y² } — это квадрат разности: ransl{ (x - y)² }.

Теперь у нас выражение в скобках выглядит так:

• \[ \frac{xy + 3}{(x - y)²} + \frac{x}{x - y} \]

Чтобы сложить эти дроби, нам нужен общий знаменатель. Им будет ransl{ (x - y)² }.

Приведем вторую дробь к общему знаменателю:

• \[ \frac{x}{x - y} = \frac{x \cdot (x - y)}{(x - y) \cdot (x - y)} = \frac{x² - xy}{(x - y)²} \]

Теперь сложим дроби:

• \[ \frac{xy + 3}{(x - y)²} + \frac{x² - xy}{(x - y)²} = \frac{xy + 3 + x² - xy}{(x - y)²} = \frac{x² + 3}{(x - y)²} \]

Шаг 3: Перемножим результаты.

Теперь перемножим результат из Шага 1 и Шага 2:

• \[ \frac{(y - x)(y + x)}{x² + 3} \times \frac{x² + 3}{(x - y)²} \]

Видим, что ransl{ x² + 3 } сокращается. Также заметим, что ransl{ y - x = -(x - y) }. Поэтому:

• \[ \frac{-(x - y)(y + x)}{(x - y)²} \]

Сокращаем ransl{ (x - y) }:

• \[ \frac{-(y + x)}{x - y} \]

Можно записать и так:

• \[ \frac{-y - x}{x - y} \]

Или, поменяв знаки в числителе и знаменателе:

• \[ \frac{y + x}{y - x} \]

Ответ: ransl{ \(\frac{x + y}{y - x}\) } (или эквивалентные формы, например ransl{ \(\frac{-(x+y)}{x-y}\) }).