4 Упростите выражение: a) \(cos^2 \alpha + 1 - sin^2 \alpha\); б) \(\frac{(sin \alpha + cos \alpha)^2}{1+2 sin \alpha cos \alpha}\).

Краткое пояснение:

Решение:

• а) \(cos^2 \alpha + 1 - sin^2 \alpha\)

  Используем основное тригонометрическое тождество: \(sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1\). Следовательно, \(1 - sin^2 \alpha = cos^2 \alpha\).

  Тогда выражение можно переписать как: \(cos^2 \alpha + cos^2 \alpha = 2cos^2 \alpha\).

• б) \(\frac{(sin \alpha + cos \alpha)^2}{1+2 sin \alpha cos \alpha}\)

  Раскрываем квадрат в числителе: \((sin \alpha + cos \alpha)^2 = sin^2 \alpha + 2 sin \alpha cos \alpha + cos^2 \alpha\).

  Используем основное тригонометрическое тождество: \(sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1\). Тогда числитель равен \(1 + 2 sin \alpha cos \alpha\).

  Выражение принимает вид: \(\frac{1 + 2 sin \alpha cos \alpha}{1+2 sin \alpha cos \alpha} = 1\).

Ответ: а) \(2cos^2 \alpha\); б) 1