6. Упростите выражение: a) 3\frac{3}{7}x⁵y⁶ . (-2\frac{1}{3}x⁵y)²; б) (aⁿ⁺¹)²: a²ⁿ.

a) Сначала переведём смешанные числа в неправильные дроби: $$3\frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{24}{7}$$, $$ -2\frac{1}{3} = -\frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = -\frac{7}{3}$$.

Теперь упростим выражение:

$$\frac{24}{7}x^5y^6 \cdot \left(-\frac{7}{3}x^5y\right)^2 = \frac{24}{7}x^5y^6 \cdot \frac{49}{9}x^{10}y^2 = \frac{24 \cdot 49}{7 \cdot 9}x^{5+10}y^{6+2} = \frac{8 \cdot 7}{3}x^{15}y^8 = \frac{56}{3}x^{15}y^8 = 18\frac{2}{3}x^{15}y^8$$.

Ответ: $$18\frac{2}{3}x^{15}y^8$$

б) Упростим выражение $$(a^{n+1})^2 : a^{2n}$$. Применим свойство степеней:

$$\frac{(a^{n+1})^2}{a^{2n}} = \frac{a^{2(n+1)}}{a^{2n}} = \frac{a^{2n+2}}{a^{2n}} = a^{2n+2-2n} = a^2$$.

Ответ: $$a^2$$