6. Упростите выражение: a) 3 3/7 x⁵y⁶ ⋅ (-2 1/3 x⁵y)² ; б) (an+1)²: a²n.

а) Упростим выражение $$3\frac{3}{7}x^5y^6 \cdot \left(-2\frac{1}{3}x^5y\right)^2$$:

1. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: $$3\frac{3}{7} = \frac{24}{7}$$, $$-2\frac{1}{3} = -\frac{7}{3}$$
2. Подставим значения в исходное выражение: $$\frac{24}{7}x^5y^6 \cdot \left(-\frac{7}{3}x^5y\right)^2$$
3. Возведем в квадрат второе выражение: $$\left(-\frac{7}{3}x^5y\right)^2 = \frac{49}{9}x^{10}y^2$$
4. Перемножим два выражения: $$\frac{24}{7}x^5y^6 \cdot \frac{49}{9}x^{10}y^2 = \frac{24 \cdot 49}{7 \cdot 9}x^{5+10}y^{6+2}$$
5. Упростим дробь: $$\frac{24 \cdot 49}{7 \cdot 9} = \frac{8 \cdot 7}{1 \cdot 3} = \frac{56}{3}$$ $$\frac{56}{3} = 18\frac{2}{3}$$
6. Запишем финальное выражение: $$18\frac{2}{3}x^{15}y^8$$

Ответ: $$18\frac{2}{3}x^{15}y^8$$

б) Упростим выражение $$\frac{(a^{n+1})^2}{a^{2n}}$$:

1. Раскроем скобки в числителе: $$(a^{n+1})^2 = a^{2(n+1)} = a^{2n+2}$$
2. Подставим в исходное выражение: $$\frac{a^{2n+2}}{a^{2n}}$$
3. При делении степеней с одинаковым основанием вычитаем показатели: $$a^{2n+2-2n} = a^2$$

Ответ: $$a^2$$