Упрощение выражений

a) $$(a^2 + 2a + 1) \cdot \left( \frac{1}{a+1} + \frac{1}{a^2 - 1} - \frac{1}{a-1} \right)$$$$

Сначала упростим выражение в скобках:

$$\frac{1}{a+1} + \frac{1}{(a-1)(a+1)} - \frac{1}{a-1} = \frac{a-1 + 1 - (a+1)}{(a-1)(a+1)} = \frac{a-1 + 1 - a - 1}{(a-1)(a+1)} = \frac{-1}{(a-1)(a+1)}$$

Теперь упростим исходное выражение:

$$(a+1)^2 \cdot \frac{-1}{(a-1)(a+1)} = \frac{-(a+1)}{a-1} = -\frac{a+1}{a-1}$$

Ответ: $$-\frac{a+1}{a-1}$$

б) $$\left( 1 - \frac{9x^2 + 4}{12x} \right) : \left( \frac{1}{3x} - \frac{1}{2} \right) + 1$$

Преобразуем первую скобку:

$$1 - \frac{9x^2 + 4}{12x} = \frac{12x - 9x^2 - 4}{12x} = \frac{-(9x^2 - 12x + 4)}{12x} = \frac{-(3x - 2)^2}{12x}$$

Преобразуем вторую скобку:

$$\frac{1}{3x} - \frac{1}{2} = \frac{2 - 3x}{6x} = \frac{-(3x - 2)}{6x}$$

Теперь исходное выражение:

$$\frac{-(3x - 2)^2}{12x} : \frac{-(3x - 2)}{6x} + 1 = \frac{(3x - 2)^2}{12x} \cdot \frac{6x}{3x - 2} + 1 = \frac{3x - 2}{2} + 1 = \frac{3x - 2 + 2}{2} = \frac{3x}{2}$$

Ответ: $$\frac{3x}{2}$$

в) $$1 - \left( \frac{2}{a-2} - \frac{2}{a+2} \right) \cdot \left( \frac{a^2 - 4}{4} - \frac{3a+2}{4} \right)$$$$

Преобразуем первую скобку:

$$\frac{2}{a-2} - \frac{2}{a+2} = \frac{2(a+2) - 2(a-2)}{(a-2)(a+2)} = \frac{2a + 4 - 2a + 4}{a^2 - 4} = \frac{8}{a^2 - 4}$$

Преобразуем вторую скобку:

$$\frac{a^2 - 4}{4} - \frac{3a+2}{4} = \frac{a^2 - 4 - 3a - 2}{4} = \frac{a^2 - 3a - 6}{4}$$

Теперь исходное выражение:

$$1 - \frac{8}{a^2 - 4} \cdot \frac{a^2 - 3a - 6}{4} = 1 - \frac{2(a^2 - 3a - 6)}{a^2 - 4} = \frac{a^2 - 4 - 2a^2 + 6a + 12}{a^2 - 4} = \frac{-a^2 + 6a + 8}{a^2 - 4}$$

Ответ: $$\frac{-a^2 + 6a + 8}{a^2 - 4}$$

г) $$\left( \frac{y^2 - 4}{y+2} - \frac{3}{y-2} \right) + 5$$

Упростим первую дробь:

$$\frac{y^2 - 4}{y+2} = \frac{(y-2)(y+2)}{y+2} = y - 2$$

Теперь исходное выражение:

$$(y-2) - \frac{3}{y-2} + 5 = \frac{(y-2)^2 - 3}{y-2} + 5 = \frac{y^2 - 4y + 4 - 3}{y-2} + 5 = \frac{y^2 - 4y + 1}{y-2} + 5 = \frac{y^2 - 4y + 1 + 5(y-2)}{y-2} = \frac{y^2 - 4y + 1 + 5y - 10}{y-2} = \frac{y^2 + y - 9}{y-2}$$

Ответ: $$\frac{y^2 + y - 9}{y-2}$$