Решение:

Прежде всего, упростим выражение в первой скобке:

$$b + 3 - \frac{b^3-9}{b(b-2)} + \frac{4}{b} = \frac{b^2(b-2) + 3b(b-2) - (b^3-9) + 4(b-2)}{b(b-2)} =$$ $$= \frac{b^3 - 2b^2 + 3b^2 - 6b - b^3 + 9 + 4b - 8}{b(b-2)} = \frac{b^2 - 2b + 1}{b(b-2)} = \frac{(b-1)^2}{b(b-2)}$$

Теперь упростим выражение во второй скобке:

$$1 + \frac{1}{b^2 - 2b} = \frac{b^2 - 2b + 1}{b^2 - 2b} = \frac{(b-1)^2}{b(b-2)}$$

Упростим третью дробь:

$$\frac{b^2 + 2b + 1}{1 + \frac{1}{b}} = \frac{(b+1)^2}{\frac{b+1}{b}} = \frac{(b+1)^2 \cdot b}{b+1} = (b+1)b$$

Теперь соберем все вместе:

$$\frac{(b-1)^2}{b(b-2)} : \frac{(b-1)^2}{b(b-2)} \cdot (b+1)b = 1 \cdot (b+1)b = b(b+1) = b^2 + b$$

Ответ: $$b^2 + b$$