Упрощение выражений

a) $$tg^2 \alpha + sin^2 \alpha - \frac{1}{cos^2 \alpha}$$

1. Преобразуем $$\frac{1}{cos^2 \alpha}$$ в $$sec^2 \alpha$$.
2. Получаем: $$tg^2 \alpha + sin^2 \alpha - sec^2 \alpha$$.
3. Вспомним, что $$sec^2 \alpha = 1 + tg^2 \alpha$$.
4. Тогда выражение примет вид: $$tg^2 \alpha + sin^2 \alpha - (1 + tg^2 \alpha)$$.
5. Раскрываем скобки: $$tg^2 \alpha + sin^2 \alpha - 1 - tg^2 \alpha$$.
6. $$tg^2 \alpha$$ и $$-tg^2 \alpha$$ сокращаются.
7. Остается: $$sin^2 \alpha - 1$$.
8. Вспомним основное тригонометрическое тождество: $$sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$$.
9. Тогда $$sin^2 \alpha - 1 = -cos^2 \alpha$$.

Ответ: $$-cos^2 \alpha$$

б) $$\frac{cos 3\alpha + cos \alpha}{2 cos \alpha} + 2 sin^2 \alpha$$

1. Преобразуем сумму косинусов в числителе, используя формулу: $$cos a + cos b = 2 cos(\frac{a+b}{2}) cos(\frac{a-b}{2})$$.
2. Получаем: $$cos 3\alpha + cos \alpha = 2 cos(\frac{3\alpha + \alpha}{2}) cos(\frac{3\alpha - \alpha}{2}) = 2 cos(2\alpha) cos(\alpha)$$.
3. Подставляем в исходное выражение: $$\frac{2 cos(2\alpha) cos(\alpha)}{2 cos \alpha} + 2 sin^2 \alpha$$.
4. Сокращаем $$2 cos \alpha$$ в числителе и знаменателе: $$cos(2\alpha) + 2 sin^2 \alpha$$.
5. Вспомним формулу для $$cos(2\alpha) = cos^2 \alpha - sin^2 \alpha$$.
6. Тогда выражение примет вид: $$cos^2 \alpha - sin^2 \alpha + 2 sin^2 \alpha$$.
7. Упрощаем: $$cos^2 \alpha + sin^2 \alpha$$.
8. Вспомним основное тригонометрическое тождество: $$sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$$.

Ответ: $$1$$