744. Уравнение 6x² + x – 2 = 0 имеет корни x₁ и x₂. Не решая уравнения, найдите: a) 1/x₁ + 1/x₂; б) x₁⁴ + x₂⁴; в) 1/x₁³ + 1/x₂³; г) (x₁² + x₂²)².

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Виета: Сумма корней квадратного уравнения $$ax^2 + bx + c = 0$$ равна $$\frac{-b}{a}$$, а произведение корней равно $$\frac{c}{a}$$. В нашем случае $$a = 6$$, $$b = 1$$, $$c = -2$$. Тогда $$x_1 + x_2 = \frac{-1}{6}$$ и $$x_1 \cdot x_2 = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$$. a) $$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2} = \frac{-\frac{1}{6}}{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{1} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$. Ответ: 1/2 б) Выразим $$x_1^4 + x_2^4$$ через известные значения. Сначала найдём $$x_1^2 + x_2^2$$ и $$(x_1^2 + x_2^2)^2$$: $$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = \left(-\frac{1}{6}\right)^2 - 2\left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{36} + \frac{2}{3} = \frac{1 + 24}{36} = \frac{25}{36}$$. $$(x_1^2 + x_2^2)^2 = \left(\frac{25}{36}\right)^2 = \frac{625}{1296}$$. Теперь найдём $$x_1^4 + x_2^4$$: $$x_1^4 + x_2^4 = (x_1^2 + x_2^2)^2 - 2(x_1x_2)^2 = \frac{625}{1296} - 2\left(-\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{625}{1296} - \frac{2}{9} = \frac{625 - 2 \cdot 144}{1296} = \frac{625 - 288}{1296} = \frac{337}{1296}$$. Ответ: 337/1296 в) Выразим $$\frac{1}{x_1^3} + \frac{1}{x_2^3}$$ через известные значения: $$\frac{1}{x_1^3} + \frac{1}{x_2^3} = \frac{x_1^3 + x_2^3}{(x_1x_2)^3}$$. Найдём $$x_1^3 + x_2^3$$: $$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2) = (x_1 + x_2)((x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2) = \left(-\frac{1}{6}\right) \left(\left(-\frac{1}{6}\right)^2 - 3\left(-\frac{1}{3}\right)\right) = \left(-\frac{1}{6}\right) \left(\frac{1}{36} + 1\right) = \left(-\frac{1}{6}\right) \cdot \frac{37}{36} = -\frac{37}{216}$$. Теперь найдём $$(x_1x_2)^3$$: $$(x_1x_2)^3 = \left(-\frac{1}{3}\right)^3 = -\frac{1}{27}$$. Тогда $$\frac{1}{x_1^3} + \frac{1}{x_2^3} = \frac{-\frac{37}{216}}{-\frac{1}{27}} = \frac{37}{216} \cdot \frac{27}{1} = \frac{37}{8}$$. Ответ: 37/8 г) Мы уже нашли $$x_1^2 + x_2^2 = \frac{25}{36}$$. Тогда $$(x_1^2 + x_2^2)^2 = \left(\frac{25}{36}\right)^2 = \frac{625}{1296}$$. Ответ: 625/1296