745. Выразите через коэффициенты уравнения ax² + bx + c = 0: а) квадрат суммы его корней; б) квадрат разности его корней; в) сумму квадратов его корней; г) сумму кубов его корней.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Виета: Сумма корней квадратного уравнения $$ax^2 + bx + c = 0$$ равна $$\frac{-b}{a}$$, а произведение корней равно $$\frac{c}{a}$$. Тогда $$x_1 + x_2 = \frac{-b}{a}$$ и $$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$. a) Квадрат суммы его корней: $$(x_1 + x_2)^2 = \left(\frac{-b}{a}\right)^2 = \frac{b^2}{a^2}$$. Ответ: b²/a² б) Квадрат разности его корней: $$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = \left(\frac{-b}{a}\right)^2 - 4\frac{c}{a} = \frac{b^2}{a^2} - \frac{4c}{a} = \frac{b^2 - 4ac}{a^2}$$. Ответ: (b² - 4ac)/a² в) Сумма квадратов его корней: $$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = \left(\frac{-b}{a}\right)^2 - 2\frac{c}{a} = \frac{b^2}{a^2} - \frac{2c}{a} = \frac{b^2 - 2ac}{a^2}$$. Ответ: (b² - 2ac)/a² г) Сумма кубов его корней: $$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2) = (x_1 + x_2)((x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2) = \frac{-b}{a} \cdot \left(\left(\frac{-b}{a}\right)^2 - 3\frac{c}{a}\right) = \frac{-b}{a} \cdot \left(\frac{b^2}{a^2} - \frac{3c}{a}\right) = \frac{-b}{a} \cdot \frac{b^2 - 3ac}{a^2} = \frac{-b(b^2 - 3ac)}{a^3}$$. Ответ: -b(b² - 3ac)/a³