Решение заданий.

1. Постройте график функции $$y = -x^2 - 4x + 5$$. С помощью графика найдите:

Для начала определим основные характеристики параболы:

• Коэффициент при $$x^2$$ отрицательный (-1), значит, ветви параболы направлены вниз.
• Найдем вершину параболы: $$x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-4)}{2 \cdot (-1)} = -2$$.
• Теперь найдем $$y_v$$, подставив $$x_v$$ в уравнение: $$y_v = -(-2)^2 - 4 \cdot (-2) + 5 = -4 + 8 + 5 = 9$$.
• Итак, вершина параболы в точке $$(-2; 9)$$.

а) Область определения и область значения:

• Область определения: $$x \in (-\infty; +\infty)$$.
• Область значений: $$y \in (-\infty; 9]$$.

б) Нули функции:

• Найдем нули функции, приравняв уравнение к нулю: $$-x^2 - 4x + 5 = 0$$.
• Умножим на -1: $$x^2 + 4x - 5 = 0$$.
• Решим квадратное уравнение через дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$$.
• Тогда $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 6}{2} = 1$$.
• $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 6}{2} = -5$$.
• Нули функции: $$x_1 = 1$$, $$x_2 = -5$$.

в) Промежутки знакопостоянства:

• Функция положительна при $$x \in (-5; 1)$$.
• Функция отрицательна при $$x \in (-\infty; -5) \cup (1; +\infty)$$.

г) Промежутки возрастания и убывания:

• Функция возрастает на промежутке $$x \in (-\infty; -2)$$.
• Функция убывает на промежутке $$x \in (-2; +\infty)$$.

д) Наименьшее и наибольшее значения функции:

• Наибольшее значение функции: $$y_{max} = 9$$.
• Наименьшего значения функция не имеет (стремится к -$$\infty$$).

2. Разложите на множители квадратный трёхчлен:

а) $$x^2 - 4x - 5$$

Найдем корни квадратного трехчлена:

• $$x^2 - 4x - 5 = 0$$
• $$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$$
• $$x_1 = \frac{4 + \sqrt{36}}{2} = \frac{4 + 6}{2} = 5$$
• $$x_2 = \frac{4 - \sqrt{36}}{2} = \frac{4 - 6}{2} = -1$$

Разложение на множители: $$(x - 5)(x + 1)$$

б) $$3x^2 - 14x + 16$$

Найдем корни квадратного трехчлена:

• $$3x^2 - 14x + 16 = 0$$
• $$D = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 16 = 196 - 192 = 4$$
• $$x_1 = \frac{14 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{14 + 2}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$$
• $$x_2 = \frac{14 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{14 - 2}{6} = \frac{12}{6} = 2$$

Разложение на множители: $$3(x - \frac{8}{3})(x - 2)$$.

3. Функция задана формулой $$f(x)= x^2 - x$$. Найдите

a) $$f(-3)$$

• $$f(-3) = (-3)^2 - (-3) = 9 + 3 = 12$$.

б) $$f(0)$$

• $$f(0) = (0)^2 - (0) = 0$$.

в) $$f(2)$$

• $$f(2) = (2)^2 - (2) = 4 - 2 = 2$$.

4. Каждый график соотнесите с соответствующей формулой:

• График А соответствует формуле $$y = -x^2$$ (5).
• График Б соответствует формуле $$y = |x|$$ (3).
• График В соответствует формуле $$y = -\frac{1}{x}$$ (1).

Ответ:

А - 5, Б - 3, В - 1