Уровень 2 (средний): 1. \(\sqrt{x^2 - 4x + 3} \leq x - 1\) 2. \(\sqrt{2x - 1} > x - 2\)

Решение:

• 1. \(\sqrt{x^2 - 4x + 3} \leq x - 1\)
  • ОДЗ: \(x^2 - 4x + 3 \geq 0\). Корни уравнения \(x^2 - 4x + 3 = 0\) равны \(x_1 = 1, x_2 = 3\). Значит, \(x \leq 1\) или \(x \geq 3\).
  • Также, для возведения в квадрат, правая часть должна быть неотрицательной: \(x - 1 \geq 0 \implies x \geq 1\).
  • Объединяя ОДЗ и условие \(x \geq 1\), получаем \(x = 1\) или \(x \geq 3\).
  • Возведем обе части в квадрат: \(x^2 - 4x + 3 \leq (x - 1)^2 \implies x^2 - 4x + 3 \leq x^2 - 2x + 1\)
  • \(-4x + 3 \leq -2x + 1\)
  • \(-2x \leq -2\)
  • \(x \geq 1\)
  • Объединяя \(x \geq 1\) с условиями \(x=1\) или \(x \geq 3\), получаем \(x=1\) или \(x \geq 3\).
• 2. \(\sqrt{2x - 1} > x - 2\)
  • Рассмотрим два случая:
  • Случай 1: \(x - 2 < 0\), то есть \(x < 2\).
  • ОДЗ: \(2x - 1 \geq 0 \implies 2x \geq 1 \implies x \geq 0.5\).
  • В этом случае неравенство выполняется всегда, так как корень неотрицателен, а правая часть отрицательна.
  • Объединяем условия: \(0.5 \leq x < 2\).
  • Случай 2: \(x - 2 \geq 0\), то есть \(x \geq 2\).
  • ОДЗ: \(x \geq 0.5\).
  • Возведем обе части неравенства в квадрат: \(2x - 1 > (x - 2)^2 \implies 2x - 1 > x^2 - 4x + 4\)
  • \(0 > x^2 - 6x + 5\)
  • \(x^2 - 6x + 5 < 0\)
  • Найдем корни уравнения \(x^2 - 6x + 5 = 0\): \(x_1 = 1, x_2 = 5\).
  • Парабола \(y = x^2 - 6x + 5\) ветвями вверх, значит, \(x^2 - 6x + 5 < 0\) при \(1 < x < 5\).
  • Объединяем условия: \(x \geq 2\) и \(1 < x < 5\), получаем \(2 \leq x < 5\).
  • Объединяя решения обоих случаев: \([0.5; 2) \cup [2; 5) = [0.5; 5)\).

Финальный ответ:

• 1. \(x=1\) или \(x \geq 3\)
• 2. \(0.5 \leq x < 5\)