Уровень 3 1) Найдите ∠DCB 2) ∠A : ∠B = 2:1. Найдите AC.

Решение:

1. Нахождение ∠DCB:

Дан прямоугольный треугольник ABC, ∠C = 90°.

CD — высота, проведенная к гипотенузе.

В треугольнике ADC, ∠ADC = 90°.

По условию \( \angle CAD = 35° \).

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике ADC равна 90°:

\( \angle CAD + \angle ACD = 90° \)

\( 35° + \angle ACD = 90° \)

\( \angle ACD = 90° - 35° \)

\( \angle ACD = 55° \)

Так как ∠ACB = 90° и ∠ACB = ∠ACD + ∠DCB, то:

\( \angle DCB = \angle ACB - \angle ACD \)

\( \angle DCB = 90° - 55° \)

\( \angle DCB = 35° \)

2. Нахождение AC:

Дан прямоугольный треугольник ABC, ∠C = 90°.

По условию \( \angle A : \angle B = 2:1 \).

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°:

\( \angle A + \angle B = 90° \)

Пусть \( \angle B = x \), тогда \( \angle A = 2x \).

\( 2x + x = 90° \)

\( 3x = 90° \)

\( x = 30° \)

Значит, \( \angle B = 30° \) и \( \angle A = 2 × 30° = 60° \).

В прямоугольном треугольнике ABC, AB = 14.

Найдем AC, используя косинус угла A:

\( \cos A = \frac{AC}{AB} \)

\( \cos 60° = \frac{AC}{14} \)

\( \frac{1}{2} = \frac{AC}{14} \)

\( AC = 14 \cdot \frac{1}{2} \)

\( AC = 7 \)

Ответ: 1) ∠DCB = 35°; 2) AC = 7.