Уровень B. Найдите расстояние от точки M до стороны CB прямоугольного треугольника ABC, если AM ⟂ плоскости ABC, AM = BC = 5 см, AC = 13 см (рис. 4).

В условии данные противоречивы. В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза AC = 13 см должна быть длиннее катета BC = 5 см, что возможно, но для нахождения второго катета получаем AB = 12 см. Однако не указано, при какой вершине прямой угол; при обычном прочтении «прямоугольный треугольник ABC» и AC как гипотенуза можно считать, что ∠B = 90°.

1. По теореме Пифагора: AB² = AC² − BC² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144, значит AB = 12 см.
2. Расстояние от M до CB равно длине перпендикуляра от M до CB. Поскольку AM перпендикулярен плоскости ABC, а AB перпендикулярен CB, отрезок MB перпендикулярен CB.
3. В прямоугольном треугольнике AMB: MB² = AM² + AB² = 5² + 12² = 169, поэтому MB = 13 см.

Ответ: 13 см (если AC — гипотенуза, то есть ∠B = 90°).