Уровень С. Из точки М проведен перпендикуляр к плоскости равнобедренного треугольника АВС. Найдите расстояние от М до стороны ВС, если АМ = 4 см, АВ = АС =5 см, ВС = 8 см (рис. 5).

Для решения данной задачи необходимо найти расстояние от точки M до стороны BC равнобедренного треугольника ABC. Известно, что AM = 4 см, AB = AC = 5 см и BC = 8 см. Также известно, что из точки M проведен перпендикуляр к плоскости треугольника ABC.

Пусть H - середина стороны BC. Тогда AH - высота треугольника ABC, проведенная к основанию BC. Так как треугольник ABC равнобедренный, AH также является медианой. Найдем AH, используя теорему Пифагора для треугольника ABH (где AB = 5 см и BH = BC/2 = 4 см):

$$ AH^2 + BH^2 = AB^2$$ $$ AH^2 + 4^2 = 5^2$$ $$ AH^2 + 16 = 25$$ $$ AH^2 = 25 - 16$$ $$ AH^2 = 9$$ $$ AH = \sqrt{9} = 3 \text{ см} $$

Поскольку AM - перпендикуляр к плоскости ABC, MH будет перпендикуляром к BC (по теореме о трех перпендикулярах). Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник AMH. В этом треугольнике AM = 4 см и AH = 3 см. Мы хотим найти MH (расстояние от M до BC), поэтому используем теорему Пифагора:

$$ AM^2 + AH^2 = MH^2$$ $$ 4^2 + 3^2 = MH^2$$ $$ 16 + 9 = MH^2$$ $$ 25 = MH^2$$ $$ MH = \sqrt{25} = 5 \text{ см} $$

Ответ: 5 см.