Условие задания: Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 28 см и острый угол равен 30°. Все двугранные углы при основании равны 60°. Вычисли высоту и площадь боковой поверхности пирамиды.

Давайте решим эту задачу по шагам. 1. **Основание пирамиды: ромб** Сторона ромба: (a = 28) см Острый угол ромба: (\alpha = 30^\circ) Двугранные углы при основании: (\varphi = 60^\circ) 2. **Площадь ромба (основания пирамиды)** Площадь ромба можно вычислить по формуле: \[ S_{осн} = a^2 \cdot \sin(\alpha) \] \[ S_{осн} = 28^2 \cdot \sin(30^\circ) \] Т.к. (\sin(30^\circ) = 0.5): \[ S_{осн} = 28^2 \cdot 0.5 = 784 \cdot 0.5 = 392 \text{ см}^2 \] 3. **Апофема пирамиды** Т.к. все двугранные углы при основании равны, вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в ромб окружности. Радиус вписанной в ромб окружности можно найти по формуле: \[ r = \frac{h}{2} \] где h - высота ромба. Высоту ромба можно найти как: \[ h = a \cdot \sin(\alpha) = 28 \cdot \sin(30^\circ) = 28 \cdot 0.5 = 14 \text{ см} \] Тогда радиус вписанной окружности: \[ r = \frac{14}{2} = 7 \text{ см} \] Теперь найдем апофему (наклонную высоту боковой грани) по формуле: \[ l = \frac{r}{\cos(\varphi)} = \frac{7}{\cos(60^\circ)} = \frac{7}{0.5} = 14 \text{ см} \] 4. **Высота пирамиды** Высоту пирамиды (H) можно найти из прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом вписанной окружности и апофемой: \[ H = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{14^2 - 7^2} = \sqrt{196 - 49} = \sqrt{147} = 7\sqrt{3} \text{ см} \] Таким образом, высота пирамиды равна (7\sqrt{3}) см. 5. **Площадь боковой поверхности** Площадь боковой поверхности пирамиды равна: \[ S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot l \] где P - периметр основания. Периметр ромба: \[ P = 4a = 4 \cdot 28 = 112 \text{ см} \] Тогда площадь боковой поверхности: \[ S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 112 \cdot 14 = 56 \cdot 14 = 784 \text{ см}^2 \] **Ответы:** Высота пирамиды: **(7\sqrt{3}) см**. Площадь боковой поверхности пирамиды: **784 см²**.